無理数の数字の組み合わせ。無限の意味について

マルチバース宇宙論の本（著者は東大の物理学教授）で、「無理数の小数点以下には、特定の有限個の数字の組み合わせが必ず無限個存在する」というような説明があったのですが、これは数学的に正しいのでしょうか。正しいとすれば数学的にはどう証明されるのでしょうか。
　私には「無限だからと言って、必ずしも特定の有限個の組み合わせが複数あるとは限らない」と思えてならないのです。
　実際の本文はつぎのとおりです。
　「無理数を小数で表現すると、小数点以下に数字が無限に続きますが、それらには周期性はありません。またその中で、隣り合う有限個の数字の特定の組み合わせに注目すれば、必ずどこかに、繰り返し無限回見つけることができます。」
　ー　中略　ー
　「どんなに長い数字の組み合わせであろうと、それが有限個である限り、この小数のどこかに必ず現れるはずです。しかもその組み合わせは１回どころか複数回、実は無限回現れるのです。まさにそれこそが無限という概念の意味でもあります。」（「不自然な宇宙」BLUE BACKS 須藤 靖 著）

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/29 01:14

そもそもとして「数をどのように表すのか」という問題があって, これを決めないと議論にならない. あと, 「無限だからと言って、必ずしも特定の有限個の組み合わせが複数あるとは限らない」というのも (日本語として) わけがわからないんだけど.

とはいえ「無理数の小数点以下には、特定の有限個の数字の組み合わせが必ず無限個存在する」が間違いであることも事実. 例えば n を 2以上の任意の整数としたときに
Σ(k=1～∞) (1/n)^(k!)
は無理数になることがわかってるんだけど, これを n進数で表現すれば 0 と 1 しか出ないうえに「111」という並びも決して現れない.

たぶん無理数と「正規数」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F …
を勘違いしてるんだろうなぁ, とコメントはしておく.

この回答へのお礼

すっきりしました。ありがとうございます。
正規数というものについて知らなかったので調べてみました。なるほど偏りのない数字の分布というのがミソだったのですね。正規数だと任意の有限個の数字列が無限回現れるということが、定義からなんとなく理解できます。
著書では宇宙についてこの考えを当てはめています。内容を要約すると以下のとおりです。
「宇宙は無限体積であり、かつビッグバン以来均質に（偏りがなく）広がっているものである。ここで、地球を中心とした観測可能な138億光年の球を有限体積の１ユニバースとした場合、その外側の観測不可能な領域に同じ体積のユニバースを無数に考えることができる。これらユニバースの集合が無限体積のマルチバースである。先の正規数（著書では無理数と記述）の無限という概念からすると、マルチバースのどこかに我々の住むユニバースと全く同じクローンユニバースが無限個実在する。」

お礼日時：2022/05/29 19:14

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/29 19:48

#3 が触れていた「個数」についていうと, #2 にリンクをあげた「正規数」のところに

正規でない数は不可算無限個
ってあるので, ひらたくいうと「実数と同じだけ」ある. もちろん「正規数も『同じ』だけ」あるんだけど.

あと「物理屋の数学」だと
物理屋はすべての奇数を素数という
ってネタを見たことがある.
・1 は 1 と「自分自身」でしか割り切れないから素数
・3, 5, 7 も素数だ
・9? たしかに 9 は素数でないが, そんなのは例外だ
・だって 11 も 13 も素数だろ?
・ほら, すべての奇数は素数じゃん
って流れ.

「物理屋の数学」は「現実世界を『記述』するための手段」だから, 数学屋と違って「意図的に (いやらしく) 作った」状況は考えなくていい, ってのも背景にはあるかもしれん.

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/29 12:19

疑問に思われたとおりです。

●周期性がない
●規則性がない
●隣り合う有限個の数字の特定の組み合わせに注目すれば、必ずどこかに、繰り返し無限回現れる

はそれぞれ別の話であり、だからその本は明らかに間違いです。

　無理数でない数（すなわち有理数）の小数展開は、ある桁数から下では「ある有限の長さの数字の列（循環節）が続けて無限回繰り返される」という形になる。これは容易に証明できますし、お示しの本にもおそらく解説されているでしょう。

　ちょっと面白い例を一つ紹介します：

A="2", B="1" として　
　　AAB
という列は数字で表せば"221"であり、
　　ABB
という列は数字で表せば"211"である。これらはどちらも、「どんな有限の長さの数字の列も3回続けて繰り返されることはない」という性質を持っている。さて、AABとABBを改めてそれぞれA,Bだと思うことにする。すると、
　　AAB
という列は数字で表せば"221221211"であり、
　　ABB
という列は数字で表せば"221211211"である。これらはどちらも、「どんな有限の長さの数字の列も3回続けて繰り返されることはない」という性質を持っている。さて、AABとABBを改めてそれぞれA,Bだと思うことにする。すると、
　　AAB
という列は数字で表せば"221221211221221211221211211"であり、
　　ABB
という列は数字で表せば"221221211221211211221211211"である。これらはどちらも、「どんな有限の長さの数字の列も3回続けて繰り返されることはない」という性質を持っている。さて、AABとABBを改めてそれぞれA,Bだと思うことにする。すると、...

という風にして、"1"と"2"以外の数字は決して現れず、なおかつ「どんな有限の長さの数字の列も3回続けて繰り返されることはない」という性質を持つ、いくらでも長い列が作れる。
　するとまず
　　　●この列は"222"や"111"や"121212"や"0"を含まない。
ということは明らか。これらは有限の長さの列であるにもかかわらず、（繰り返しどころか）一度たりとも現れない。もちろん
　　　●この列に周期性はない。
しかし作り方（アルゴリズム）を明確に示せるのだから、明らかに
　　　●この列は規則性を持つ。
すなわち、周期性と規則性は別の話である。

　さて、この列が十進展開の小数部分であるような数xを考えると、
　　　●xは無理数である。
　なぜなら、どんな「有限の長さの数字の列」も3回続けて繰り返されることはないのだから、循環節は存在しない。つまりxは有理数ではない。

　（この例のように、あるいは円周率のように）「アルゴリズムがある」というのは最も易しいタグイの「規則性」であり、そういう数は高々自然数と同じ個数（可算無限個）だけしかない。なぜなら：そのアルゴリズムを書いたプログラムは文字の列ですから、そのプログラムをコンピュータのファイルにすれば1個の2進数（桁数はすごく多いが、有限桁）で表されます。なので、プログラムの個数は自然数より多くはない。
　ちなみに、もっと緩やかな意味で「規則性を持つ」とはどういうことなのか、を深く追求する「記述集合論」という分野があります。

この回答へのお礼

おお！私の言いたかったことはまさしくこれです！数学には縁のない人間なので、自分の考えを的確に説明できず、もどかしく思っていました。
専門的かつ詳細に説明していただき誠にありがとうございます。
問題の著書の内容については「正規数」の概念を知ることで納得しました。ありがとうございます。

お礼日時：2022/05/29 19:35

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2022/05/29 09:34

すべての無理数について、といえば偽であるのは明らかです。

素朴な例なら 0.1001000100001...(0がk個、1が1個をkを増やしながら繰り返す）など。

著者は、無理数のイメージとして、小数点以下何桁目も0-9までの数字がほぼランダムに表れる、というのをもっているのでしょう。
そういう確率論的な意味では正しいでしょうし、無理数として円周率を選べば、証明はできませんが、おそらく正しいでしょう。

そして、直観的には、これを満たさない無理数はとても少ない（可算個しかないような気がするがきちんと証明できない）と思われるので、ほとんどすべての無理数はこの条件をみたすような気がします。
物理屋さんだと、「例外は少し」の時にも「すべての」といって不思議ではないです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＞物理屋さんだと、「例外は少し」の時にも「すべての」といって不思議ではないです。
本当にそうですね。著者が言いたかったのは正規数のことだと分かり、すっきりしました。

お礼日時：2022/05/29 19:29

No.1 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/05/28 23:18

説明通り、無理数には周期性がないのだから、無限に続ければ、どんなパターも必ず出てくるわけで、結果、特定の有限個の数字の組合せが必ず存在し、しかも何度も・・・となりますよね。

コンピュータのシミュレーション結果が、よく開示されていますよ。１２３４・・のようなもの。９９９９９のような連続など、なんでもありです。

ありえないと思うのは、人間は無意識に、確率が低い現象を、現実的には起きにくい・・・と考えるからでしょうね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「無限に続ければ、どんなパターも必ず出てくるわけで、結果、特定の有限個の数字の組合せが必ず存在し、しかも何度も」それがなぜなのかを教えてもらいたくて質問いたしました。僭越ながらコンピュータでいくらシュミレートしても証明にはならないと思います。

お礼日時：2022/05/29 19:27