「n≦-2の時 z≠π/2の時 g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1) z=π/2の時

「n≦-2の時
z≠π/2の時　g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)

0<|z-π/2|<πで
tan(z)=sin(z)/cos(z)
の
分母cos(z)は0にならないから
正則だから
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
も正則
z=π/2の時
n=-2の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=-1

n≦-3の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=0

だから
g(z)は|z-π/2|<πで正則


また、n≧-1の時、
黒い下線部の式に試しにn=-1を代入した際に
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は
g(z)=tan(z)(z-π/2)^0
g(z)=tan(z)
になり
この式
tan(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2の時分母cos(z)=cos(π/2)=0となるので
z=π/2は特異点(極)になるのです
g(z)は特異点（極)z=π/2を持つのです、
n=-1の時は特異点z=π/2を持っているのです

tan(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2でk=1位の極を持つのです
k=1
n=-1の時
k=1=-1+2=n+2
になります

n≦-2の時
z≠π/2の時　g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
で
g(z)はz=a=π/2で正則だから
z=a=π/2
と
できる

tan(z)=sin(z)/cos(z)
は
z=π/2で定義できないから
a=π/2の時は
z≠a=π/2

a=0の時は
z=a=0
とできる」
において、質問があります。

「z=π/2の時
n=-2の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=-1」はz=π/2なのに、なぜtan(z)=sin(z)/cos(z)のcos(z)は0となり、結果的に式が=0とならないのでしょうか？
lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)から-1が導かれるまでをもう少し細かく教えて欲しいです。


また、
「n≦-3の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=0」
に関して、lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)から0 が導かれるまでをもう少し細かく教えて欲しいです。


ちなみに、「g(z)は|z-π/2|<πで正則」との事ですが、ではz=π/2の時は式は正則でないという認識で正しいでしょうか？


どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 画像において、n≦-3の時のa(n)の式はどのような式になるのでしょうか？また、n≦-3の時はg(z)は正則ではないのでしょうか？

  
    補足日時：2022/07/05 14:37

• すいません。
  なぜn≦-2の時
  a(n)=0を示すのでしょうか？
  
  また、なぜn≧-1の時は
  a(n)≠0なのでしょうか？
  
  それぞれの質問について、具体的な計算を用いて理由を教えて下さい。
  
  理解力が低くて申し訳ありません。

    補足日時：2022/07/07 11:18

• 補足で申し訳ありません。
  画像の赤い下線部から青い下線部の式を導くまでの過程の計算を詳しく教えて頂けないでしょうか？
  
  毎回毎回申し訳ありません。

  
    補足日時：2022/07/07 11:23

• 「すいません。
  なぜn≦-2の時
  a(n)=0を示すのでしょうか？
  
  また、なぜn≧-1の時は
  a(n)≠0なのでしょうか？」
  に関して、
  
  「n≦-2の時
  a(n)=0」に関しては、
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dzに
  実際にn=-2を代入すると、(z-π/2)^(n+1)の「指数」を含む部分がa(-2)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(-1)}dzとなり、分母が含まれる式では無くなってしまう。すなわたま、分母自体がないためローラン展開ができない。なので、分母が0になる極がないため積分の定理が使えるためa(n)=0となった。

    補足日時：2022/07/07 17:39

• 「z=π/2で(k=)1位の極を持つから
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  
  n=-1の時
  
  a(n)=a(-1)
  ...
  =-1」
  に関してa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dzにn=-1を代入して、=-1と求めるまでの過程を教えて下さい。
  
  また、0<|z-π/2|<πに関して、z=π/2ですが、
  0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πとなり変な不等号になりますが良いのでしょうか？
  
  なぜn≧0の時の計算は面倒なのでしょうか？

    補足日時：2022/07/07 18:37

• 過去に書いた質問について、画像の質問にも答えて下さると大変ありがたいです。
  問題が多くて申し訳ありません。
  
  画像に載せれなかった。以下の2つの質問にも答えて頂けると大変助かります。
  
  a(n)
  =Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)...①
  =lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)...②
  ①から②になるまでの詳しい過程の計算を教えて下さい。
  
  また、
  a(n)
  ={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dzから
  ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}を導くまでの過程の計算を詳しく教えて下さい。
  
  どうかよろしくお願い致します

  
    補足日時：2022/07/08 16:21

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/05 04:02

tan(z)=sin(z)/cos(z)の分母cos(z)が0になる時はtan(z)は∞に発散します

n=-2の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=lim_{z→π/2}{sin(z)/cos(z)}(z-π/2)
=lim_{z→π/2}sin(z)(z-π/2)/cos(z)
=lim_{z→π/2}sin(z)(z-π/2)/sin(π/2-z)
=lim_{z→π/2}-sin(z)(π/2-z)/sin(π/2-z)
=lim_{z→π/2}-sin(z)lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)

lim_{z→π/2}-sin(z)=-1
lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)=1
だから

=-1

n≦-3の時
g(π/2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}{sin(z)/cos(z)}(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}{sin(z)(z-π/2)/cos(z)}(z-π/2)^(-n-2)
=lim_{z→π/2}{sin(z)(z-π/2)/sin(π/2-z)}(z-π/2)^(-n-2)
=lim_{z→π/2}{-sin(z)(π/2-z)/sin(π/2-z)}(z-π/2)^(-n-2)
=lim_{z→π/2}-sin(z)lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)lim_{z→π/2}(z-π/2)^(-n-2)

lim_{z→π/2}-sin(z)=-1
lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)=1
1≦-n-2だから
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(-n-2)=0
だから

=0

g(z)は|z-π/2|<πで正則だから
z=π/2の時{|z-π/2|=|π/2-π/2|=0<πだから}g(z)は正則

この回答へのお礼

ありがとうございます。
>> g(z)は|z-π/2|<πで正則だから
z=π/2の時{|z-π/2|=|π/2-π/2|=0<πだから}g(z)は正則

すなわち、g(z)は|z-π/2|<πで正則なので(nの値に関係なく)、積分の定理により
a(n)=0となると思うのですが正しいでしょうか？

また、他の質問にも答えて下さるとありがたいです。

お礼日時：2022/07/05 08:47

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/05 01:56

何を示そうとしている証明の

どの部分が判らなかったのか
を読み取るのに酷く苦労する。
自分がこんな質問のされ方をしたら
どんな気持ちになるかを少し考えて
質問文を書いたほうがいいと思う。