4tx"+2x'-x=0をs=√tと置換して一般解を求める方法を教えて下さい

4tx"+2x'-x=0をs=√tと置換して一般解を求める方法を教えて下さい

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/14 14:54

" とか ' とか書いてあるのは、 d/dt の意味なのかな？

もし、そうであれば、
s = √t によって ds/dt = (d/ds) t^(1/2) = (1/2) t^(-1/2) = 1/(2s) になるから
x' = dx/dt = (dx/ds)・(ds/dt) = (dx/ds)・1/(2s),
x" = dx'/dt = (dx'/ds)・(ds/dt) = { (d/ds)( (dx/ds)・1/(2s) }・1/(2s)
　= { ( ( d/ds)(dx/ds) )・1/(2s) + (dx/ds)・(d/ds)( 1/(2s) ) }・1/(2s)
　= { (d²x/ds²)・1/(2s) - (dx/ds)・1/(2s^2) }・1/(2s)
　= (d²x/ds²)・1/(4s^2) - (dx/ds)・1/(4s^3).
より、
4tx" + 2x' - x = 4(s^2){ (d²x/ds²)・1/(4s²) - (dx/ds)・1/(4s³) }
　　　　　　　+ 2{ (dx/ds)・1/(2s) }
　　　　　　　- x
　　　　　　= (d²x/ds²) - x.
(d²x/ds²) - x = 0 の一般解は、よく知られた x = A sin s + B cos s {A,Bは定数}
だから、変数を t に戻して x = A sin√t + B cos√t.