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A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
訂正です
ω=(-1+√-3)/2
Z(ω)={x+yω|x,y∈Z}
とする
定理)
α,β∈Z(ω),β≠0の時
α=βκ+ρ
|ρ|<|β|
となるκ,ρがZ(ω)に必ず存在する
証)
Z(ω)∋x+yωは複素数平面上において120°の角度を有する菱形格子点である
α/βはこの格子のある菱形に属しそのある頂点から1より小さい距離にある
その頂点をκとすれば
|α/β-κ|<1
∴α-βκ=ρと置けば、|ρ|<|β|
この定理から素因数分解の一意性が出るから
Z(ω)は一意分解整域である
だけれども
Z(ω)⊃Z[√-3]は一意分解整域でないし
2
は
Z(ω)の素元だけれども
Z[√-3]の素元でない既約元だから
Z[√-3]の素元の積で表されない
No.3
- 回答日時:
ω=(-1+√-3)/2
とすると
Z[√-3]=Z(ω)={x+yω|x,y∈Z}
定理)
α,β∈Z(ω),β≠0の時
α=βκ+ρ
|ρ|<|β|
となるκ,ρがZ(ω)に必ず存在する
証)
Z(ω)∋x+yωは複素数平面上において120°の角度を有する菱形格子点である
α/βはこの格子のある菱形に属しそのある頂点から1より小さい距離にある
その頂点をκとすれば
|α/β-κ|<1
∴α-βκ=ρと置けば、|ρ|<|β|
この定理から素因数分解の一意性が出るから
Z[√-3]=Z(ω)は一意分解整域である
No.1
- 回答日時:
R=Z[√-3]
素元の定義が
「
可換環Rの元
pは0でも単元でもなく
ある元aとbに対して
pがabを割り切るときにはいつでも
pがaを割り切るかpがbを割り切るとき
pをRの素元という
」
であれば
Z[√-3]の元
p=2は0でも単元でもないけれども
a=1+√-3
b=1-√-3
に対して
ab=(1+√-3)(1-√-3)=4=2・2
だから
p=2がab=4を割り切るけれども
p=2はa=1+√-3を割り切らない
p=2はb=1-√-3を割り切らない
から
p=2は素元ではない
x,y,z,wを整数とする
2=(x+y√-3)(z+w√-3)とする
両辺のノルムをとると
4=(x^2+3y^2)(z^2+3w^2)
x^2+3y^2≠2
z^2+3w^2≠2
だから
x^2+3y^2=1,z^2+3w^2=4
または
x^2+3y^2=4,z^2+3w^2=1
x^2+3y^2=1の時x+y√-3=±1は単元
z^2+3w^2=1の時z+w√-3=±1は単元
だから
p=2は既約元だから
素元の積に分解できない
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