こちらの束縛条件について解説しているサイトで https://note.com/manabu_phy

Question

こちらの束縛条件について解説しているサイトで

https://note.com/manabu_physics/n/nf29edde31c26

早速一問目から分かりません……

とかかれているんですが(1)の場合で移動距離の関係から出していると思うんですが

(２)の状況だと一変して普通に？解いています

2だと束縛条件は使えないんですか？

(自分が考えてみたのだと)

進んだ距離をx、yとすると

y=(2√3+1/√3)x

(y:2tanπ/3+tanπ/6)

yhr2 · Accepted Answer

No.1～4 です。「補足 9/01 22:24」について。

確かに、全く質問には関係ないですね(*^_^*)
以前あった「微分」に関する質問はこれだったのですね？
（事務局によって削除されたみたいですね）

「微分」の方はよいのですか？

与式を微分するときに、
　f(x) = x^2 
として
　df/dt = (df/dx)(dx/dt)
で
　df/dx = 2x
ですから、
　dx/dt = x'　(ドットが書けないので「'」で書きます)
として
　df/dt = 2xx'

同様に
　g(y) = y^2
とおけば
　dg/dt = 2yy'

当然
　dr/dt = 0
ですから
　x^2 + y^2 = r^2
を時間 t で微分すれば
　2xx' + 2yy' = 0
→　xx' + yy' = 0　　　　　(A)

(A)をさらに t で微分すれば、「積の微分」を使って
　(xx')' = x'x' + xx'' = (x')^2 + xx''
同様に
　(yy')' = y'y' + yy'' = (y')^2 + yy''
よって、(A)を t で微分したものは
　(x')^2 + xx'' + (y')^2 + yy'' = 0　　　　(B)
になります。

次に本題。
与えられたベクトルは
　→r = (x, y)　　　←「列ベクトル」には書けないので「行ベクトル」で書きます
　→v = (x', y')
　→a = (x'', y'')
です。

これに「ベクトルの内積」を使って（各成分の積の和）
　→v･→r = x'x + yy'
(A) より
　→v･→r = 0　　　　　　　　　　　①
つまり、→v と →r とは直交する。

また、同様にベクトルの内積より
　|→v|^2 = →v･→v = (x')^2 + (y')^2
　→a･→r = x''x + y''y
これで (B) を置き換えれば
　|→v|^2 + →a･→r = 0
→　|→v|^2 = -→a･→r
この両辺を |→r| で割って、半径方向の単位ベクトル →r/|→r| の形にすれば
　|→v|^2 /|→r| = -→a･→r/|→r|
　　　　　　　　= →a･(-→r/|→r|)　　　　　②

画像の「緑」の式は、これを
　|→r| = r
と書いたものです。

円運動では、向心力
　F = mrω^2 = mv^2 /r
と運動方程式 F=ma より
　a = v^2 /r
です（高校物理ではこんな式でしょう）。
②はこれを「ベクトル表記」したもので、→r が「原点を基準にした円周の位置ベクトル」であるのに対して、向心加速度は「円の中心向き」なので、②には「マイナス」が付いています。

yhr2 · Answer

No.3 です。「補足」について。

＞1、写真のように本来は水平方向に平行であった運動が
斜面によってx動いた間にyだけ落っこちるのでその関係性がtanθになるのがこの問題での束縛条件という認識でいいですか？

はい。
「斜面」でなく「水平な机の上」であれば、それが束縛条件になりますが、#3 に書いたように、それは「わざと難しく言っている」のに近いです。
机の面が水平であることを「束縛条件」と呼ぶことはあまりないでしょう。

＞２、先程述べられていた放物線について
自分が一番最初に補足にあげた写真でy方向の変位ではなく距離をあげた時に「時間を考えていない長さだ」と聞きました。恐らくこれはy方向の運動が直線ではなく往復運動であるのに対し進んだ距離でみなしているからだと思います。そのため1で述べたことと矛盾するため成り立たないという認識でいいですか？

言っている意味がよく分かりません。
「矛盾している」云々ではなく、「現象がそうではない」ということです。

＞3、逆に疑問に思ったことがあります。
球が打ち上げられている間は束縛条件
束縛条件は何か有るんでしょうか？

斜面に落下する瞬間以外には、そんな「束縛条件」はありません。
だから、#3 に「お示しのサイトはわざと「難しく」考えさせようとしているみたいですが」と書きました。

yhr2 · Answer

No.2 です。「お礼」に書かれたことについて。

＞そこに書かれているのは……からよく分かりません
静止した長さとは時間の書き間違いでしょうか？

いや、そのまんま「ただの長さの関係」ということです。
そもそも、右上向きの60°の矢印は、初速度の瞬間の速度ですが、時間とともに「重力加速度」によって放物線になりますから、そこに書いた「長さ ℓ」など意味のない「ただの長さ」です。
「時間」を考えれば「放物線」になるのが「変位」です。
なので「時間を考えていない」ただの「長さだ」と書いたのです。

＞直線の関係とは変位が同じでは無いということでしょうか？

上に書いたとおりです。
軌跡は直線になりません。

「束縛条件」のことを、「運動の軌跡」のように考えていませんか？
お示しのサイトはわざと「難しく」考えさせようとしているみたいですが、もっと単純に考えればよいです。

お示しの「最初の問題」では、そこでいう「束縛条件」とは、「落下地点は斜面上なので、「落下地点の x, y 座標には y/x = tanθ の関係がある」というだけのことです。
なので、その「束縛条件」を利用して、tanθ の平面に x 軸をとりことで y 成分だけで論じればよい、ということにしているのです。

「束縛条件」は、「制約条件」であるとともに、「それを利用すれば現象を単純化できる」という条件でもあるわけです。
#1 に書いた「地上の座標系」の議論は、かなり面倒でしょう？

yhr2 · Answer

No.1 です。「補足」について。

＞たしかに変位だけであれば成り立ちますね
＞なぜ距離で考えるとおかしく？なってしまうのでしょう

「変位」も「距離」も同じです。どちらも「速さ」と「時間」とで決まります。
そこに書かれているのは「静止した長さ」の関係ですね。

「鉛直方向の変位」と「水平方向の変位」は直線の関係ではありません。

「変位」「距離」であれば、
・鉛直方向は「等加速度運動」（重力が働くので、一定の重力加速度生じる）
・水平方向は「等速運動」（力は働かない）
で求めます。

＞束縛条件を適用？するのは
＞座標系の変位でしょうか？

とは限りません。
そのサイトの先の方を勉強すれば出てくると思いますが、

・滑車などに糸で結び付けられていれば「変位」「速さ」「加速度」とも束縛される。
「動滑車」や「ばね」であればその関係はちょっと複雑になる。

・全エネルギ－保存、力学的エネルギー保存、運動量保存などが束縛条件になることもある。

yhr2 · Answer

ちゃんと説明、解説を読んでいますか？
「物理」の前に、まずは「日本語」をきちんと読めるようにしましょう。

地上の座標系（重力加速度が鉛直下方向）で考えれば、「斜面」は束縛条件になります。
それが (1) の左側の解。

それに対して、(1) の右側では、「斜面」を基準にした座標系（重力加速度が上下・左右の成分に分かれる）で考えれば、「斜面」は「水平面」相当になるので「束縛条件」として考えなくてよい（斜面に垂直な成分だけを考えればよい）、ということを「別解」として説明していますよね？

(2) は「斜面に垂直方向に投射する」ので、その「別解」の座標系で考えています。
ちゃんと最初にそう書いてあるよね。

「束縛条件が使えない」のではなく、「束縛条件を使うと大変なので、束縛条件を使わなくてすむ座標系の取り方をした」ということです。

「束縛条件」を使って考えれば、地上の座標系で考えて（鉛直下向きを正とする）
・鉛直方向：等加速度運動、加速度は g
　初速度は -v0･cosθ
　従って、
　　ay = g
　　vy = -v0･cosθ + gt
　　y = -v0･cosθ･t + (1/2)gt^2　　　　　①
・水平方向：等速運動、加速度は 0
　初速度は v0･sinθ
　従って、
　　ax = 0
　　vx = v0･sinθ
　　x =v0･sinθ･t　　　　　②

Ｃ点に落下するまでの時間を T とすれば、①より
　yc = -v0･cosθ･T + (1/2)gT^2　　　③
②より
　xc = v0･sinθ･T　　　　　　　　　　④
斜面の束縛条件より
　yc/xc = tanθ
これに③④を代入して
　[-v0･cosθ･T + (1/2)gT^2]/(v0･sinθ･T) = tanθ
→　[-v0･cosθ + (1/2)gT]/(v0･sinθ) = tanθ
→　-v0･cosθ + (1/2)gT = v0･sinθ･tanθ
→　(1/2)gT = v0･sinθ･tanθ + v0･cosθ
→　T = 2[sinθ･tanθ + cosθ]v0/g

ここに θ = 30° を適用すれば
　T = [1/(√3) + (√3)]v0/g
　　= [(4√3)/3]v0/g　　　　←分母を有利化した
　　(= (4/√3)v0/g)
で、答は一致します。
ただ、斜面を横軸にとった模範解答の方が、「斜面に垂直な成分」だけの方程式で済む（その代わり加速度の値が変わる）分、簡単に解くことができます。

模範解答は「働く加速度」の方に束縛条件を適用し、上に書いた「地上の座標系」を使った場合には「斜面の座標」が束縛条件になります。
どちらの束縛条件が問題を解く上で便利かを考えればよいだけの話です。

＞(自分が考えてみたのだと)
＞進んだ距離をx、yとすると
＞y=(2√3+1/√3)x

それはどういう考え方で導いて、どんな意味を持つのですか？
①②の式から t を消去しても、x, y の関係が「一次式」になるはずはありませんね。ましてや、v0 も g も含まれていないし。
斜面上の座標の式なら
　y/x = tan(30°)
ですから、単に
　y = (1/√3)x
ですね。

こちらの束縛条件について解説しているサイトで https://note.com/manabu_phy

No.1～4 です。

No.3 です。

No.2 です。

No.1 です。

ちゃんと説明、解説を読んでいますか？

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