この問題が分からないので教えてください 定員200人に対して受験者が1000人あった入学試験について

この問題が分からないので教えてください

定員200人に対して受験者が1000人あった入学試験について300点満点の試験に対して平均が120点標準偏差が80点であった、得点はほぼ正規分布しているとし、得点の上位者から順にちょうど定員に達するまでを合格者とするとき、合格者の最低点は約何点になると予想されるか

答えは187.2です

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/11 09:07

#5です。

自分で業務に適用するならどうなるのかなあ、と全く興味だけでやってみました。

まず、正規分布に従い、0点から300点の範囲で平均が120、標準偏差が80となる分布を作りました。

すると何と図に示すように、N（-36，203^2）なる分布でした。
（添付図（上））

ここから、「範囲内の正規乱数」を生成して統計量を確認すると、

> mean(dat)
[1] 120.5045
> sd(dat)
[1] 80.07727

で、ほぼ合っています。

上位20％の得点は、197.7201 ≒ 197 でした。
（添付図（下））

題意に沿うよう求めると、こうなります。
0～300点しか出現しない上、そこでの平均が120、標準偏差が80で、正規分布にフィットするんですからね。

出題者に是非見てもらいたいですね。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/10 09:38

#4です。

いやいや、私、早とちりしていました。1000人の実測値の平均と標準偏差が出ていますね。

#4のようなトランケートした分布を想定すると、上記の統計量が出てきません。平均120標準偏差80の正規分布に従うと書いてあれば良いですが、実測値がそうなるのであれば、#4は間違いです。

1000人だと片側2.5％で25人だから、67人は、外れ値扱いするには多すぎますよね。だから、#4は近似的にも良いとは言えません。

０点以上という制約を設けながら、計算上の平均が120、標準偏差が80になる、正規分布（分布のパラメータはそれらとは別）に従うデータを作らねばなりません。

これは、エクセルのソルバーなどで、逆算的に作り出す必要があります。

なかなか難題ですよ、これは。

（これから出勤なので、帰ったら、こっそり取り組んでみます）

参考文献

岩崎学（2002）『不完全データの統計解析』，エコノミスト社

こういう負値が存在しないというデータは、例えば「強度」「洩れ量」「バリ高さ」などで、企業ではゴロゴロしています。

知っておくと良いですよ。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/10 09:06

マイナス３σ点が、120－240＝－120 となり、０点を下回る受験生が67人も存在することになります。

あり得ません。

小数点以下の点数を考慮するかどうか以前の問題ですよ。

そうならないように、０点で切断（トランケーション）した正規分布で考える必要があります。

どういうことかと言うと、人数を1000/933 ＝1.071811倍に水増しすれば、0点以上で1000人になります。
つまり、受験生は仮想的に1072人いると考えます。

正規分布のグラフは、平均120、標準偏差80で、０以下は点線というか薄い線で描かれ、０点で切断された状態になっています。０以上で1000人います。

すると、合格者200人の下側累積確率は、1-200/1072＝0.8134328
（そのまま考えれば0.8でしたね）

その時の点数は、

qnorm(0.8134328, 120, 80)=191.2494


実は191点ないと、合格できないんですよ。

これは、出題者の先生が、地雷を踏んでしまった好例です。
社内のSQC教育でヒヤリハット例として使わせてもらいます。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/10 00:43

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞Zは-0.84じゃないんですか??

意味不明です。
「1000人のうち 200人合格」は当然「上位者から200人」なので、Z がマイナスつまり「平均以下」になることはあり得ません。

＞0.84は0.7995になります

「上側確率」と「下側確率」を逆にしていませんか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/10 00:26

1000人の点数が正規分布 N(120, 80^2) に従うということですね。

標準正規分布 N(0, 1^2) の変数 Z に変換すれば
　Z = (X - 120)/80　　　　①

1000人のうち、200人が合格するので、その確率は
　200/1000 = 0.2

下記の標準正規分布表から、上側確率が 0.2 となる Z値は
　Z ≒ 0.84

この Z に対する X は、①式から
　0.84 = (X - 120)/80
→　X - 120 = 67.2
→　X = 187.2

従って、最低得点は 187点でしょう。
（点数に「約」なんてあり得るのかな？）

標準正規分布表
↓
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …

この回答へのお礼

Zは-0.84じゃないんですか??0.84は0.7995になります
何が違うんでしょうか

お礼日時：2022/11/10 00:30

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/09 22:59

> 答えは187.2です

まさか。その試験は小数点以下の採点をするんですかね。