No.2ベストアンサー
- 回答日時:
必要性:
F(x) = ∫(0~x)f(t)dt が周期 T を持つなら、
∫(0~T)f(t)dt = F(T) = F(0) = ∫(0~0)f(t)dt = 0.
十分性:
∫(0~T)f(t)dt = 0 が成り立つなら、
F(x+T) = ∫(0~x+T)f(t)dt = ∫(0~T)f(t)dt + ∫(T~x+T)f(t)dt
= 0 + ∫(0~x)f(u+T)du ;t=u+Tで置換
= 0 + ∫(0~x)f(u)du ;f()は周期Tを持つ
= F(x).
No.1
- 回答日時:
T>0
f(x+T)=f(x)
----------
∫_{0~x}f(t)dtが周期T>0の周期関数ならば
∫_{0~x+T}f(t)dt=∫_{0~x}f(t)dt
↓x=0とすると
∫_{0~T}f(t)dt=∫_{0~0}f(t)dt
↓∫_{0~0}f(t)dt=0だから
∴
∫_{0~T}f(t)dt=0
である
---------------
∫_{0~T}f(t)dt=0ならば
∫_{0~x+T}f(t)dt-∫_{0~x}f(t)dt
=∫_{x~x+T}f(t)dt
=∫_{x~T}f(t)dt+∫_{T~x+T}f(t)dt
=∫_{x~T}f(t)dt+∫_{0~x}f(s+T)ds
↓f(s+T)=f(s)だから
=∫_{x~T}f(t)dt+∫_{0~x}f(s)ds
=∫_{x~T}f(t)dt+∫_{0~x}f(t)dt
=∫_{0~x}f(t)dt+∫_{x~T}f(t)dt
=∫_{0~T}f(t)dt
=0
∴
∫_{0~x+T}f(t)dt=∫_{0~x}f(t)dt
だから
∫_{0~x}f(t)dtは周期T>0の周期関数である
---------------------
∴
∫_{0~x}f(t)dtが周期T>0の周期関数であるための必要十分条件は
∫_{0~T}f(t)dt=0である
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