複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える

複素関数で分からない問題があります。
∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx
という積分を考えるとき、
sin^2x=(1-cos2x)/2　と変換し、
∫[0->π]2/(3-cos2x)dx
とします。この後、この関数はx=πを挟んで対称であるから、
∫[0->π]2/(3-cos2x)dx　は、
∫[0->2π]/(3-cos2x)dx
とできると思ったのですが、答えのπ/√2に合いませんでした。この操作はできないのでしょうか。解答では2x=x'と置換していました。

ご教授お願い致します。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/26 19:52

答えは変わりません。

どちらでやっても π/√2 です。
どっかで計算ミスしただけでしょう。

cos(2x) = (z^2 + z^-2)/2 と書くと
積分路の対応がやや見えにくいけど、要するに
z = e^(ix) で置換したってことでしょう？
この z の軌跡が閉じた円周になるように
x の範囲を 0≦x≦2π にしたかったんですよね。

S = ∫[0→π] 1/(1 + sin^2 x) dx を
S = ∫[0→2π] 1/(3 - cos 2x) dx と変形してから
z = e^(ix) で置換すると...
S = ∫[0→2π] 1/(3 - (z^2 + z^-2)/2) dx
　= ∫[0→2π] 2z^2/(z^4 - 6z^2 + 1) dx
　= ∫[0→2π]{ 2iz/(z^4 - 6z^2 + 1) } iz dx
　= 2i ∮ 1/(z^4 - 6z + 1) dz
∮ の積分経路は、反時計廻りの単位円周です。

被積分関数の部分分数分解が
1/(z^4 - 6z + 1) =
　= (1/8√2){ 1/(z+1+√2) - 1/(z-1+√2) - 1/(z+1-√2) + 1/(z-1-√2) }
になるので、閉路積分は
S = (2i/8√2){ ∮dz/(z+1+√2) - ∮dz/(z-1+√2) - ∮dz/(z+1-√2) + ∮dz/(z-1-√2) }
　= (i/4√2){ 0 - 2πi - 2πi + 0 }
　= π/√2.
ほら、あなたの解法でちゃんと π/√2 が出ましたよ。

この回答へのお礼

計算ミスでした。申し訳ございませんでした。
何度もお答え頂き本当にありがとうございました。とても助かりました。

お礼日時：2022/12/26 22:40

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/25 21:20

＞ 最初に2x=x'と置いて

＞ ∫[0->2π]1/(3-cosx')dx'
＞ とした場合と答えが合いませんでした。

そりゃそうだ。
S = ∫[0->2π]1/(3-cos2x)dx で 2x=x' と置いたなら、
S = ∫[0->2π]1/(3-cosx')dx' とはならない。
2dx=dx' だから
S = ∫[0->2π]1/(3-cosx')(1/2)dx' でしょ？
合うわけないよ。

この回答へのお礼

申し訳ございません。説明が足りていませんでした。

∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx
を
sin^2x=(1-cos2x)/2　と変換し、
∫[0->π]2/(3-cos2x)dx
とした後、
2x=x'として、
∫[0->2π]1/(3-cosx')dx'
とした場合と、

x=πでの対称性から
∫[0->π]2/(3-cos2x)dx
=∫[0->2π]1/(3-cos2x)dx
とした場合で、答えが変わってしまうのは何故なのでしょうか。

お礼日時：2022/12/25 21:46

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/12/25 12:09

os2x = (z^2+z^(-2))/2とおいて、留数定理で求めようとしました。

//

アリさんには悪いが・・・。
それでぼくは結論を得ました。
少々計算がややこしいので
ケアレスミスがあると思う。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/25 10:02

いや、

∫[0->π]2/(3-cos2x)dx = ∫[0->2π]1/(3-cos2x)dx = π/√2 なんだけど。
∫[0->2π]1/(3-cos2x)dx にした後、どう計算するつもりだった？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
∫[0->2π]1/(3-cos2x)dx として、
cos2x = (z^2+z^(-2))/2とおいて、留数定理で求めようとしました。
ただ、最初に2x=x'と置いて
∫[0->2π]1/(3-cosx')dx'
とした場合と答えが合いませんでした。

お礼日時：2022/12/25 10:25

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/25 00:34

∫[0->π]2/(3-cos2x)dx=∫[0->2π] 1/(3-cosx') dx'

ですね。
x'=2xとおけば、上の式が得られます。

すると
　∫[0->2π] 1/(3-cosx) dx
　　　=∫[0->π] 1/(3-cosx) dx+∫[π->2π] 1/(3-cosx) dx
　　　=∫[0->π] 1/(3-cosx) dx+∫[0->π] 1/(3+cosx) dx
で、定石通り
　t=tan(x/2)
とおけば解けます。


ただ、
　∫[0->π]1/(1+sin²x)dx
　　　=∫[0->π/2]1/(1+sin²x)dx+∫[π/2->π]1/(1+sin²x)dx
右辺第2式を y=π-x と変数変換すれば
　∫[π/2->π]1/(1+sin²x)dx=∫[π/2->0] 1/(1+sin²y) (-dy)
　　　=∫[0->π/2] 1/(1+sin²y) dy
となるので
　　∫[0->π]1/(1+sin²x)dx=2∫[0->π/2]1/(1+sin²x)dx
となり、ここで、y=2x と変換すれば
　　∫[0->π]1/(1+sin²x)dx=2∫[0->π] 1/(3-cosy) dy
となって、上のように積分区間を分けずとも、積分は１つにな
る(ただ、ほぼ同じ積分なので、大した手間でないが)。