ωをω^6＝-1を満たす複素数とする。 f(z) = 1/(1 + z^6)のとき、f(z)のωでの

ωをω^6＝-1を満たす複素数とする。
f(z) = 1/(1 + z^6)のとき、f(z)のωでの留数Res[f(z),ω]をωを使って表わせ。

この問題はどのように解けば良いのでしょうか？？
わかる方いましたら知恵をお貸しください。m(_ _)m

答えは-ω/6になります。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/02 01:54

f(z) において z=ω は 1位の極だから f(z) の z=ω における留数が g(z) = (z-ω)f(z) の (てきせつに約分しての) z=ω における値だ, ってことを使っていいなら腕力で計算することもできるねぇ.

1+z^6 の零点を, ω を使ってうまく書けばそれほど難しくない.

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2022/12/28 16:30

たしかに

f(z)、g(z)が解析関数でf(a)＝g(a)＝0、g’(a)≠0のとき
(limｚ→a)f(z)/g(z)＝f’(a)/g’(a)　がなりたつ。
’高木、解析概論から）

という注釈を入れるべきだったか？

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/28 09:57

分子が 1次のときは, 「直接には」循環論法ではないといえるのでは＞#4. 微分の定義を流用するなら

f(x) が収束するなら lim [1/f(x)] = 1/[lim f(x)]
という定理を使わにゃならんよね. もちろんロピタルの定理が適用できる条件下ではこの定理も成り立つんだけど.

ところで「1/{ 0 + 6ω^5 }」の「0」ってどこから出てきたんだろう. 直接 1/(6ω^5) とした方がすっきりすると思う.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/28 07:33

早いってか、分子分母のどっちかが一次式のときに

ロピタルを使うのは、循環論法じゃないの？

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/12/27 21:46

たしかにロピタルの定理が早いね（No.1さん）

ωは表題の関数の１位の極だから
留数＝（limｚ→ω)(ｚ－ω)/(1 + z^6)＝（limｚ→ω)(ｚ－ω)’/(1 + z^6)’
＝1/(6ω^5）＝ω/(6ω^6）＝-ω/6

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/27 20:46

ああ、ω^6＝1からω^6＝-1に改定したんですね。

それなら問題の意味は通ります。
極の定義に沿って、 lim[z→ω] (z-ω)^n f(z) を
n = 0, 1, 2, 3, ... と順に計算してみると、
lim[z→ω] (z-ω)^0 f(z) は発散、
lim[z→ω] (z-ω)^1 f(z) = lim[z→ω] (z - ω)/(1 + z^6)
　　　　　　　　　　= 1/{ lim[z→ω] (1 + z^6)/(z - ω) }
　　　　　　　　　　= 1/{ 0 + 6ω^5 }
　　　　　　　　　　= ω/{ 6ω^6 }
　　　　　　　　　　= -ω/6.
となるので、 z = ω は f(z) の 1 位の極と判って、
留数は Res[f(z),ω] = -ω/6.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/27 18:03

ロピタルの定理がもっとも簡単かなぁ.