tanθ＝2/3のとき、sinθとcosθの値を求めなさい。 (ただし0°<θ<90°) の問題で

tanθ＝2/3のとき、sinθとcosθの値を求めなさい。
(ただし0°<θ<90°)
の問題で
sin^2θ+(3/2sinθ)^2=1

ここまでは分かるのですが
ここで
13/4sin^2θ=1

の13が出てくる意味がわかりません
その後

sinθ＝+−2√13

どうして2が出てきて分母に√13がいるんですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/21 21:24

0°<θ<90° で tanθ=2/3 なら、

底辺 3 、高さ 2 の 直角三角形ですよね。
ならば 斜辺は √(2²+3²)=√13 でしょ。
当然 sinθ=2/√13, cosθ=3/√13 ですね。

「sin^2θ+(3/2sinθ)^2=1」ではなく、
sin²θ+{(3/2)sinθ}²=1 ですね。
書き難いので sinθ=s とします。
s²+(3/2)²s²=1 → {1+(9/4)}s²=1 → (13/4)s²=1 、
s²=4/13 → s=±2/√13 。
0°<θ<90° ですから s>0 で sinθ=2/√13 。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/21 19:43

その問題を式変形で解こうってのは、方向性がちょっとね。

0°<θ<90° なんだし、直角を挟む二辺が 3 と 2 の三角形
の絵を描いて斜辺の長さを求めれば、暗算でできるでしょう？

質問の計算で 13 が出てくるのは
sin^2 θ + ((3/2) sin θ)^2 = (1 + (3/2)^2) sin^2 θ
　　　　　　　　　　　　= ( (2^2 + 3^2)/2^2 ) sin^2 θ
　　　　　　　　　　　　= ( 13/4 ) sin^2 θ
となるからですが、右辺分子に 13 が出てくる計算は
上記の直角三角形の斜辺を三平方の定理で求める計算そのものです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/21 19:38

tan²θ+1=1/cos²θ

→ cos²θ=1/(1+(2/3)²)=1/(13/9)=9/13
→ sin²θ=1-cos²θ=1-9/13=4/13
→ sinθ=±2/√13

ただし0°<θ<90° だから sinθ>0 なので
　sinθ=2/√13