n段の階段の上り方

この前家庭教師で小６の算数を教えていた時の問題で、
「階段を登るのに、１段、２段、３段の３種類の登り方が
できます。今６段の階段を登るのに何通りの方法がありますか。」
これは簡単です。上手に数え上げれば２４通りとできました。
　で、「n段の階段を登るなら何通りか？」って考えてみましたところ思ったより難しい。
　一応できた所まで書いてみます。
n段の階段をP(n)通りで登るとすると
P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3) ただしnが４以上の時
P(1)=1 P(2)=2 P(3)=4
ここまで漸化式はできました。
ここからが「？」なんです。
　
分かる方教えてください。
途中までもあっているか、勝手に考えた問題なので
解けるかどうかも分かりません。

No.1 回答者： guiter 回答日時： 2001/09/12 01:44

またまた、この漸化式が出てきました。

いろいろな問題ができるものですね。

まず、
　P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)
の特性方程式
　x^3-x^2-x-1=0
の３つの解をα、β、γとすると
　U=(19/27-√(11/27))^(1/3)
　V=(19/27+√(11/27))^(1/3)
として
　α=(U+V) + 1/3
　β=-(U+V)/2 - i(√3)(U-V)/2 + 1/3
　γ=-(U+V)/2 + i(√3)(U-V)/2 + 1/3
と書くことが出来ます。これら３つの解を用いると

　 P(n)=-1/{(α-β)(β-γ)(γ-α)}*[(β-γ){P(3)-(β+γ)*P(2)+βγ*P(1)}α^(n-1)　＋　cyclic ]

となります。

詳しくは参考URLをご覧になってください。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=90849