私は、高2です。
X5乗-1=0 の因数分解はどうやってするのですか?
又、x(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)+5=0
からは、解けるのでしょうか?
又、x5乗ってどうやって入力するのですか?
どなたか教えて下さいお願いします。

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A 回答 (9件)

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0


を解けばよいわけですね。
x=1が解の一つであることはすぐ分かりますね。
あとは
x^4+x^3+x^2+x+1=0
を解けばよいわけですが、少し工夫が必要です。
まずx=0は解ではありませんから、両辺をx^2で割ることができます。
x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)=0  ・・・(1)
となります。
ここで、
t=x+x^(-1)  ・・・(2)
とおくと、
x^2+x^(-2)=t^2-2
ですから、(1)は
(t^2-2)+t+1=0 すなわち、
t^2+t-1=0
と書き直すことができます。
二次方程式ですからすぐ解けますね。
出てきた解を(2)に当てはめればxの解が求まります。
あまりすっきりした形にならないので計算は少々大変ですが、
頑張って下さい。
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この回答へのお礼

ご返答有り難うございました。
この次にあった問題の応用に貴方の解答がちょうど使えました。
次に、回答して頂ける機会がありましたら宜しくお願いします。

お礼日時:2001/09/13 08:40

>一応、知ってます。


補足ありがとうございます。

まず、念のための前置きですが任意の複素数は極表示で
 z = r(cosθ+isinθ)
と書くことが出来ます。このとき、例えば z^2 は
 z^2 = r^2(cosθ+isinθ)^2
   = r^2{(cos^2θ-sin^2θ)+i(2sinθcosθ)}
   = r^2(cos2θ+isin2θ)
となります。
一般に z = r(cosθ+isinθ) のとき z^n は
 z^n = r^n{cos(nθ)+isin(nθ)}
となることがわかります。(de Moivreの公式ですね。)
この数式を複素平面上で考えてみると
絶対値1の複素数 cosθ+isinθ を掛けることは角度θの回転を意味します。

すると、α^5=1を満たすαは5回 回転して複素平面上で点(1,0)に
戻ってくることになります。
まず、
 r^5{cos(5θ)+isin(5θ)}=1
の両辺絶対値をとると r=1 であることがわかります。
すると、
 cos(5θ)+isin(5θ)=1
となりますが、5θ=2nπ のときにこの式は満たされます。
0≦θ<2π とすると n=0,1,2,3,4 となります。
つまり、θは
 θ = 0,2π/5,4π/5,6π/5,8π/5
の5つです。これらが1の5乗根になっています。
 a = cos(2π/5)+isin(2π/5)
とすると、因数分解の結果は
 (x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
となります。

この回答への補足

二回にわたる書き込み有り難うございました。
πをつかえる方法は、まだなれないせいか気づきませんでした。
つきの機会がありましたら宜しくお願いします。

補足日時:2001/09/13 08:43
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極形式


z=r(cosθ+isinθ)
ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n=(cos(nθ)+isin(nθ))
も習っているのではありませんか?

ここでは一般の方も多く回答されていますので、自分にどれだけの知識があるのか、何処まで解けたのか?書かれておかれますと、回答者も対応しやすいようです。
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この回答へのお礼

うっかりしてました。アドバイス有り難うございます。

お礼日時:2001/09/12 12:51

因数分解でなく極形式にしてまず、解を求めました。


極形式 z=r(cosx+isinx) r>0 (角はxにしちゃいました)
z^5=1より r^5*(cosx+isinx)^5=1
r=1 (cosx+isinx)^5=1
ド・モアブルの定理より(とても重要な定理)
(cosx+isinx)^5=1
cos5x+isin5x=1
両辺の複素数の実部と虚部を比較して
cos5x=1,sin5x=0
5x=360*n nは整数
x=72*n
単位円を0度から5等分した角になる。0から360では
0、72、144、216、288なので
答えは
x1=cos0+isin0=1
x2=cos72+isin72
x3=cos144+isin144
x4=cos216+isin216
x5=cos288+isin288
の5つになります。
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この回答へのお礼

丁寧な回答を有り難うございました。
次の機会があれば、宜しくお願いします。

お礼日時:2001/09/13 08:42

因数分解というやり方は


 (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
までしか思い付かないのではないでしょうか。

複素数の極表示をご存知でしょうか?
このあたりを補足をお願いします。
もし、知っておられるなら1の5乗根ですから、
αは複素平面の単位円周上を5等分する点になるのですが、
知らない場合は少し計算が大変です。

この回答への補足

一応、知ってます。

補足日時:2001/09/12 12:01
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すみません!


下の解答、問題を読み間違えていました。
申し訳ないです。

この回答への補足

すみません、問題を少し書き間違えました。
α^5=1 の複素数を使う問題です。皆さん、改めてお願いします。

補足日時:2001/09/12 11:19
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  X5乗-1=0


-1を右辺に移項して、
  X5乗=1
同じ数字を5回かけて1になるのは、X=1のとき。


  x(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)+5=0
これを解くと、
  x(x2乗-1)(x2乗-1)+5=0
  x(x2乗-1)2乗+5=0
  x(x4乗-2x2乗+1)+5=0
  x5乗-2x3乗+x+5=0
これを解いても、x=1にはならないので、間違っていると思います。


『x5乗の入力』とは、なんのことを指していらっしゃるのかわかりません。
質問をするときに、どう入力したらよいか、ということでしょうか?
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この回答へのお礼

曖昧な質問ですみませんでした。
次からは、注意しようと思います。
回答有り難うございました。

お礼日時:2001/09/13 08:51

まず、因数分解ですから、別に右辺に=0をつけることはありませんよ。



5乗は、^5なんて書き方をします。^5でも別にいいと思います。

さて、x^5-1は、x-1かx+1で割れるなら、因数分解できますよね。
試してみると、x-1で割れます。
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
右側がもうすこし進むかどうかも考えてみてください。

方程式ですが、5を右辺に持っていくと、どうやらxは負の数だということがわかる程度です。
全部展開してから因数分解しなおしますけどね、僕なら。

この回答への補足

すみません、問題を少し書き間違えました。
α^5=1 の複素数を使う問題です。皆さん、改めてお願いします。

補足日時:2001/09/12 11:09
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因数分解という言葉さえ忘れてしまっていました。


おもわず自嘲しています。

> 又、x5乗ってどうやって入力するのですか?

この質問にお答えします。
このホームページ上で小さい「5」を表示することは不可能です。
故に、「x^5」と書けばいいと思います。
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この回答へのお礼

有り難うございました。
私個人としては、貴方のような回答の仕方は親近感があって好きです。
ポイントをおくれないことが残念です。
次に機会があれば宜しくお願いします。

お礼日時:2001/09/13 08:50

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Q因数分解(中学)を早く正確に解くコツってありますか?

今、個別指導塾のバイトで中学生の因数分解を指導しています。
生徒さん(中2)は因数分解を解くのが遅いのですが、ヒントを出せばどうにか解いてくれます。

今後は問題をできるだけたくさん解いて
最終的にはヒント無しで因数分解を早く正確に解く
レベルまで上げてあげたいと思っているのですが
因数分解を早く解くための指導方法やコツなどがあれば
是非教えてください!
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

速さが求められるのは、受験数学だからであって、本来の発展のある数学の世界にスピードはあまり必要ないということをあらかじめお断りしておきたいと思います。
それを忘れていると、数学の面白さに出会えず、受験終了が数学の勉強の終了になりかねません。

現在の中学校ではたすきがけは出てきません。

速さを追求したいのなら、手順を定式化して反復練習です。
たくさん問題に当たれば、誤答は特定のパターンが見えてきます。本人に誤答理由が理解できれば、正答率はグッと上がります。

因数分解の場合は、
(1)共通因数をさがす
(2)2項の場合は和と差の積を疑う
(3)2次項の係数が平方数なら和・差の平方を疑う
(4)定数項の約数の組み合わせを出してその和と1次項の係数を比較する
といった手順がおよそ考えられます。

学習の基本は先人の追体験ですから、指導者ご自身の中学時代の計算手順を思い出して、細かいアドバイスを付け加えるとなお良いでしょう。

ただ、中学校3年の教材ですから、1・2年の文字式の計算が定着していることが前提です。

Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

(問題)xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
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その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
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Q因数分解のコツについて

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 x^3 - 2x^2y + xy -2y^2
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という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 ...続きを読む

Q中学数学の因数分解を教えてください

中学生です。中学数学の
因数分解の回答手法がわかりません。
答えだけではなく、解き方を教えてください。

問題-因数分解をしなさい。
(1) a2乗(x+y)-a(x+y)2乗   ※すみません。2乗の入力の仕方がわかりませんでした。
(2) 2x(x-3y)-y(3y-x)

解き方、考え方を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

#1です。

「*」は、「×」(掛け算)です。

(-1)*(-1)=1
なので、(-1)を2回掛けて符号の変化を起こさないようにしています。

『-yを+yにして』
結果は同じになっていますが、『-yを+yにして』ではなく、『(3y-x)』を『-(x-3y)』にしていると考えた方が、同じ項が出てくるのではっきりすると思いますが、どうでしょう?

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Q中学生の因数分解の計算方法を教えて下さい

中学生の因数分解の計算方法を教えて下さい。

Xの2乗+10X-24=(X+12)(X-2)

このレベルは解けるのですが・・・・

12Xの2乗-4X-5

X2乗-y2乗-X+y

この感じになるとタスキ掛けで頑張っても中々出来ません。

今手元にあるのは中学数学の教科書のみで計算の仕方が載っていません。

このような問題での基本的な計算の流れや計算方法を教えて下さい。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

12x^2-4x-5のようなものは
12=3×4,2×6,1×12つまり(3,4)(2,6)(1,12)と
5=1×5(1,5)
の数の組み合わせで-4になるものを探します
この場合だと
(2,6)と(1,5)で-2×5+1×6=-4となるので
(6x-5)(2x+1)となります
ようはX^2の頭についている数字からその掛け算の組み合わせを考えxがついていない数字との組み合わせであきらかに除外できそうなものを除いて考えてください
今回の場合(1,12)はパッと見除外できるでしょう

x^2-y^2-x+yのパターンは共通因数をみつけるようにします
x^2-y^2=(x-y)(x+y)と因数分解でき後半の-x+yは-でくくり-(x+y)
とすると共通因数(x+y)が見えてきますよね

x,yが混在している場合はこのパターンが多いです.
まずどこかで簡単な因数分解ができないか探してみましょう。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q因数分解のコツ・・・

以下のような因数分解が苦手です。
*2a(3)-16=0
*a(3)-a=0
*2a(3)-3a(2)+5=0
*2a(3)+a(2)+1=0
*2a(3)-5a(2)+4a-1=0

()内の数字は前のものが何乗されているかです。

解答をみてもこのようなレベルは省略してあるので…
やり方のコツがあれば教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

上から順番に1~5とします

1、最初に[2]があるので、ちょっとじゃまですよね?
3乗して2になる数・・・[3乗根2と言うのはあるけど、普段は使わないから]
↑これはなさそう。
次、じゃあ、2で「くくって」みよう!
2(a^3-8)・・・・ここで、公式[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
を思い出します。そして、この公式に当てはめられるかを確認
2(a^3-2^3)・・・公式にあうからこれでいける!と思って計算していきます。

2、あっ!これはすべての項に[a]が入っているから、くくってみよう
a(a^2-1)=0・・・ここで、公式[a^2-b^2=(a+b)(a-b)]を思い出して同じように元の式を変形
a(a^2-1^2)・・・公式に当てはめられるので、そのまま計算

3・4・5
これは、aでくくれないし、数字でもくくれないし、公式にも当てはめられそうにないから、
最後の手段
aにどんな数字を入れたら左辺=0になるかを考えます。

私は、a=1,-1,2,-2,3,-3・・・と入れていきます。

例:5、
2a^3-5a^2+4a-1=0・・・aに何を入れたらいいかを考える
a=1の時:2-5+4-1=0・・・あっ、これで左辺=0にできた。
そうしたら、次の作業をします。

2_-5_4_-1 [1]・・・5の係数を書き出し、右側にa=1の1を書く
↓_2__-3___1 (+・・・・上の数字と左下にある数字を足し算していく
2__-3__1___0

法則わかりますか??で、一番下の数字を使います。
右から0をのぞいて、a^0,a^1,a^2・・・の係数になっています。つまり、[2a^2-3a+1]・・(1)ということ
で、答えは、
(a-1)(2a^2-3a+1)・・・最初の-1はa=1の時の[1]の符号を逆にしたものを書きます。それと、(1)をかけたものが答え
そして、じつはまだ因数分解できます。
2a^2-3a+1・・・aに1を入れたら左辺=0になりますよね?
同じように表を書いて計算すれば簡単に因数分解できます。
(2a-1)(a-1)
なので、答えは{(a-1)^2}(2a-1)ってなります。
このやり方は教科書のどこかに載っているかもしれません

上から順番に1~5とします

1、最初に[2]があるので、ちょっとじゃまですよね?
3乗して2になる数・・・[3乗根2と言うのはあるけど、普段は使わないから]
↑これはなさそう。
次、じゃあ、2で「くくって」みよう!
2(a^3-8)・・・・ここで、公式[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
を思い出します。そして、この公式に当てはめられるかを確認
2(a^3-2^3)・・・公式にあうからこれでいける!と思って計算していきます。

2、あっ!これはすべての項に[a]が入っているから、くくってみよう
a(a^2-1)=0・・・ここ...続きを読む

Q指数に関するな問題で、(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の2問についてご教授ください。

(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の二つの問題について、答えをご教授ください。
(1)は「次の方程式を解け」 (2)は「次の不等式を解け」となっております。
( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
手元には解説と答えのどちらもないので、簡単な過程式も付けて頂けると大変助かります。
ご教授頂ける方是非よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
指数という意味で以下のように表記します。
(1) 2^(3x+2)-4^x+2^(x+1)-5=0
2^x=yとおくと
2^(3x)=(2^x)^3=y^3
2^(3x+2)=2^(3x)×2^2=4y^3
4^x=2^(2x)=(2^x)^2=y^2
2^(x+1)=2^x×2=2y
従って(1)は
4y^3-y^2+2y-5=0
これはy-1と2次式に因数分解できて
(y-1)(4y^2+3y+5)=0
2^x=yであるのでxを実数とするとy>0
4y^2+3y+5=0は実数解を持たない。
よってy=1に対応するx=0が答え。
(2)2^x+2^(-x)<17/4
y=2^xとおくと
y+1/y<17/4
y=2^xよりy>0であるので
y^2-17/4y+1<0
4y^2-17y+4<0
因数分解して
(4y-1)(y-4)<0
1/4<y<4
xに戻して
-2<x<2


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