コインは何回投げられますか。

はじめ、コインを2回投げることができます。

ルールは、
コインの表が出れば、そこから、さらに、あと2回コインを投げることができます。

2回続けて裏が出たら終わりです。

コインは平均して何回投げることがでますか。

質問者からの補足コメント

• 私の考えでは、
  
  n回まで投げる確率は、
  
  (n個の表裏の並び方の組み合わせ数)/2^n
  
  で、これの分子だけを取り出して、並べるとフィボナッチ数列になりました。(nを増やしていって試しただけで、どこまでもフィボナッチ数列が続くということを証明したわけではありません)
  
  
  昔、とりあえずフィボナッチ数列になると仮定して、それを分子にあてがって、確率に回数をかけた無限級数にして、計算してみました。非常にめんどくさかったです。(これは、あることに必要だから、計算しました)
  
  その値は確か、3.5回になったと思います。
  
  皆さんの答えの中に、3.5回というのはないので、私が違ってますかね。

    補足日時：2023/04/05 22:50

• 余談です。
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13425854.html
  よろしかったら、おこしください。

    補足日時：2023/04/11 21:36

• 皆さんありがとうございます。皆さんの回答から6だと思います。
  
  いちばん、田舎くさい解き方として、
  
  n=2のときはE(2)=2/4、
  n=3のときはE(3)=3/8。
  
  つまり、
  ちょうどn回まで続く確率をp(n)としたら、
  
  E(n)=Σ(kは2からn)kp(k)という式を、Σという文字を使わずに教えてください。
  
  この式をみて、n→∞の時に、E(n)→6というのを納得したいです。

    補足日時：2023/04/14 20:16

• 上の補足はE(n)の初期値が間違っていました。
  n≧2であり、
  
  E(2)=2/4
  E(3)=2/4+3/8
  
  です。

    補足日時：2023/04/14 20:33

No.14 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/04/09 14:13

No1,2,7,9,12 です

No5,10さんを参考に、
n 回目のコインが投げられる確率を p(n) と置きます。
すると、No10さんの回答の通り、
p(1)=p(2)=1
p(n) = p(n-1)/2 + p(n-2)/4 (n>2)
ですね。

「続けて表裏裏となった場合だけ、コイン投げが終了」します
したがって、期待値は、最初に続けて裏裏となる場合を加えて
E = 2/4 + Σ(n+2)/8 p(n) [n=1->∞]
となります。

この条件で E を計算したところ、かなり面倒な計算でしたが、　E=6　になりました。

かなり面倒な計算なので詳細は省略しますが、概要は
　A(k) ＝Σn p(n) [n=ｋ->∞]
　B(k) =Σp(n) [n=ｋ->∞]
と置くと、
p(n) = p(n-1)/2 + p(n-2)/4 (n>2) より
　A(3) = A(1) -P(1) - 2 P(2)
　B(3) = B(1) - P(1) - P(2)
が求められます。
また A(k),B(k)の定義から
　A(2)＝A(1) - P(1)
　A(3)＝A(2) - 2 P(2)
　B(2)=B(1) - P(1)
　B(3)=B(2) - P(2)
なので、これらを組み合わせて計算しました。

No.13 回答者： iruiru298 回答日時： 2023/04/08 21:05

横から失礼します。

No12さん>根性で No.10 の続きをやったら、 E = 19/2 になりました。
そもそも、

E = Σ[n=2→∞] n・{ (p(n-1)・1/2)・1/2 }

これあってます？

(p(n-1)・1/2)・1/2 は、「n+1 回目を投げられる確率」ですよね。
これにnを掛けて集計しても期待値にならないのでは？

また、「コイン投げが丁度 n 回で終わる確率」は、p(n-1)・1/2)・1/2　ではないのでは？

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/08 18:09

根性で No.10 の続きをやったら、 E = 19/2 になりました。

α+β=1 で β を消去して、α^2=α+1 で次数下げすると、どうにかなる。
E = 6 を推してる人がいるし、あまり計算に自信ないけど。

No.11 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/04/08 06:10

No1,2,7,9です

直接の回答になっていないこと、予めお詫びしておきます。

No10さん>ｲｷｷﾞﾚ
ということですが、僭越ながらNo5,10さんは、
　n回で終了する確率qn を求め、期待値を Σ n * qn [n=2->∞]
で計算されていらっしゃいますが、
　n回目のコインが投げられる確率pn から 期待値を Σ pn [n=1->∞]
で計算された方が、計算が簡単になる気がしますがいかが？

具体的な計算はしていませんが、 E - E/2 - E/4 を考えると良さそうな気がしています。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/07 14:42

あー、No.5 は漸化式が違いましたね。

p(n) は同じに置くとして、
n 回目のコインが表である確率が p(n)・1/2、
n-1 回目が表で n 回目が裏である確率が (p(n-1)・1/2)・1/2
だから、n+1 回目を投げられる確率は
p(n+1) = p(n)・1/2 + (p(n-1)・1/2)・1/2.

ここで a(n) = p(n)・2^(n-1) と置くと、
a(n+1) = a(n) + a(n-1).
広義のフィボナッチ数列ですが、
初期条件が a(1) = 1, a(2) = 2 なので
一般項は a(n) = (1/√5)( α^(n+1) - β^(n+1) ).
ただし α = (1 + √5)/2, β = (1 - √5)/2 と置きました。

求めたい期待値は
E = Σ[n=2→∞] n・{ (p(n-1)・1/2)・1/2 }
　= Σ[n=2→∞] n・{ (a(n-1)・(1/2)^(n-2))・(1/2)^2 }
　= Σ[n=2→∞] n・{ (1/√5)(α^n - β^n)・(1/2)^n }
　= (1/√5) Σ[n=2→∞] n・(α/2)^n - (1/√5) Σ[n=2→∞] n・(β/2)^n.

|r| < 1 対して S(r,m) = Σ[n=2→m] n・r^n と置くと、
S(r,m+1) - r・S(r,ｍ) = Σ[n=2→m] n・r^n - r Σ[n=2→m] n・r^n
　= Σ[n=2→m+1] n・r^n - Σ[n=2→m] n・r^(n+1)
　= 2・r^2 + Σ[n=3→m+1] n・r^n - Σ[j=3→m+1] (j-1)・r^j
　= 2r^2 + Σ[n=3→m+1] { n・r^n - (n-1)・r^n }
　= 2r^2 + Σ[n=3→m+1] r^n
　= 2r^2 + (r^3){ 1 - r^(m-1) }/(1 - r).
この式で m→∞ の極限をとって
(1 - r) S(r,∞) = 2r^2 + (r^3)/(1 - r) より
S(r,∞) = { 2r^2 + (r^3)/(1 - r) }/(1- r)
　　　= (r^2)(2-r)/(1-r)^2.

これを使って、
E = (1/√5) S(α/2,∞) - (1/√5) S(β/2,∞)
　= (1/√5)((α/2)^2)(2-α/2)/(1-α/2)^2 - (1/√5)((β/2)^2)(2-β/2)/(1-β/2)^2
　= …
ｲｷｷﾞﾚ

No.9 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/04/06 21:29

なんだか、数学の回答とは別の話になってしまっていますが・・・

>あなたがしきりに小中学生レベルという文言を何度も持ち出す意図は何ですか。
文字通り、
　高校大学で学習するレベルの計算技法が不要なシンプルな計算手順
という意味ですけど・・

＞物言いは失礼だと思われます。
それは失礼しました。「簡単」、「シンプルな計算」をわかりやすく形容した適切な表現のつもりですけど。お気にさわったようでごめんなさい。

＞非常にめんどくさかったです。
とおっしゃるので、（非力な私のように）難しく考えないと
　シンプルな計算で答えが出せるのでは
といった意味です。

＞あえて言う意図を教えてください。
「あえて言う意図」ですか。難しい質問ですね。
あえて言っているつもりは全くなく、誤解なくわかりやすく伝えるように配慮した結果の表現なのですけどね。

なお、具体的な計算方法については
No1のお礼で、質問者さんが
＞答えを教えてください。
とおっしゃっていらしたので、私は具体的な計算方法まで書くのは、相手を子供扱いしていて失礼な気がするので、大人対応としては省略したいというのが本音ですが、そこを無理して「あえて」書きましたけどね。

＜おまけ＞
回答者としては、回答の物言いに反応するのではなく、数学的な回答内容について反応していただけると、幸いです。
私の回答、本当に難しい計算、何もしてないでしょ？
そこを認めてほしいです。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/06 07:39

答が割れてますが、シミュレーション組むのは至極簡単で

試行回数を増やすと6に漸近します。
よって4や3.5は間違い。

No.7 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/04/06 06:34

No1,2です

＞P(n)=a(n)/(2^n)
＞
＞(n≧2)
＞このa(n)というのはフィボナッチ数列の一般項だと思います。
＞a(2)=1,a(3)=1
1回目、a(1)=2
2回目、a(2)=4
3回目以降　a(n) = a(n-2)+a(n-1)
なのでは？

＞非常にめんどくさかったです。
>その値は確か、3.5回になったと思います。
「めんどくさい計算方法」がわかりませんが、そもそも初期値が違うから答えが合わないのでは？以下の方法で計算すれば小中学生レベルの計算ですみますよ。

S = Σp(n) =Σa(n)/(2^n)　と置くと、
S －　S/2　－　S/4　＝　p(1) + p(2)/2 = a(1)/2 + a(2)/8

初期値を代入すると右辺は3/2で、後の計算はNo2と同じで、　S = 6 となると思いますよ

No.6 回答者： iruiru298 回答日時： 2023/04/05 22:24

横から失礼します。

No.5さん
>コイン投げが丁度 n 回で終わるのは、
>n-1 回目まで投げられて
>かつ n-1 回目と n 回目が裏の場合です。
>その確率は p(n-1)・(1/2)(1/2)、
p(n-2)・(1/2)(1/2)、
ではないでしょうか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/05 15:08

ｎ 回目のコインが投げられる確率を p(n) と置きます。

コイン投げが丁度 n 回で終わるのは、
n-1 回目まで投げられて
かつ n-1 回目と n 回目が裏の場合です。
その確率は p(n-1)・(1/2)(1/2)、
n+1 回目も投げられる確率は
p(n+1) = p(n) - p(n-1)・(1/2)(1/2) になります。

はじめにコインを 2 回投げることができるので、
p(1) = p(2) = 1 です。

この漸化式と初期条件から、p(n) の一般項が求まります。
三項間線型漸化式の解き方は、受験参考書などに
詳しく書いてありますから、読んでください。
漸化式を解くと、 p(n) = (1n+0)(1/2)^(n-1) になります。

n の期待値 E は、
E = Σ[n=2→∞] n{ p(n-1)・(1/2)(1/2) }
　= (1/4)Σ[k=1→∞] (k+1)p(k)　　　； k=n-1 と置く
　= (1/4)Σ[k=1→∞] (k^2+k)/2^(k-1) です。

あとは、計算だけ。
S(m) = Σ[k=1→m] (k^2+k)/2^(k-1) と置くと、
S(m+1) = Σ[k=1→m+1] (k^2+k)/2^(k-1)
　　　　= (1^2+1)/2^(1-1) + Σ[k=2→m+1] (k^2+k)/2^(k-1)
　　　　= 2 + Σ[j=1→m] ((j+1)^2+(j+1))/2^j.

更に T(m) = S(m+1) - (1/2)S(m) と置けば、
T(m) = 2 + Σ[k=1→m] ((k+1)^2+(k+1))/2^k - (1/2)Σ[k=1→m] (k^2+k)/2^(k-1)
　　　= 2 + Σ[k=1→m]{ ((k+1)^2+(k+1))/2^k - (k^2+k)/2^k }
　　　= 2 + Σ[k=1→m] (k+1)/2^(k-1).

よって、
T(m+1) - (1/2)T(m)
= 2 + Σ[k=1→m+1] (k+1)/2^(k-1) - (1/2){ 2 + Σ[k=1→m] (k+1)/2^(k-1) }
= 2 + (1+1)/2^(1-1) + Σ[k=2→m+1] (k+1)/2^(k-1) - 1 - Σ[k=1→m] (k+1)/2^k
= 3 + Σ[ｊ=1→m] (j+2)/2^j - Σ[k=1→m] (k+1)/2^k
= 3 + Σ[k=1→m]{ (k+2)/2^k - (k+1)/2^k }
= 3 + Σ[k=1→m] 1/2^k
= 3 + (1/2){ 1 - (1/2)^m }/{ 1 - 1/2 }
= 4 - (1/2)^m.

以上の式から T( ) を消去すると、
S(m+2) - (1/2)S(m+1) - (1/2){ S(m+1) - (1/2)S(m) } = ４ - (1/2)^m.
ここで m→∞ の極限をとると、
S(∞) - (1/2)S(∞) - (1/2){ S(∞) - (1/2)S(∞) } = ４ - 0 より
S(∞) = 16.

結局、E = (1/4)S(∞) = ４ になります。
平均 4 回です。