logの含まれてる式からすなわち〜となっている式にどのように変形したらこうなるのか教えてください。

logの含まれてる式からすなわち〜となっている式にどのように変形したらこうなるのか教えてください。
z(t)=の式もどこからこの式が出てきたのかいまいちわかりません。助けてください。

質問者からの補足コメント

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    補足日時：2023/04/18 22:17

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/18 23:23

なんか、全然対数に対する理解が進んでいないような・・・。

4行目の式は
　(1/p)log○ = t
ですから、両辺に p をかけて
　log○ = pt

対数の定義から
　○ = e^(pt)　　　　①

次に、
　○ = (1/c)△
ですから、①を
　(1/c)△ = e^(pt)
と書いて、両辺に c をかけて
　△ = c･e^(pt)　　　　　　　②

対数が出てくるだけで、小学校の算数までできなくなってしまうようですね。


あとは、中学校の数学程度の範囲で式を変形して

　△ = z/(p - qz)

ですから、②を書き直して
　
　z/(p - qz) = c･e^(pt)

分母を払って
　z = (p - qz)c･e^(pt)
　　= pc･e^(pt) - qzc･e^(pt)
z を１か所に集めるため、右辺の第2項を左辺に移項して
　z + qzc･e^(pt) = pc･e^(pt)
→　[1 + qc･e^(pt)]z = pc･e^(pt)
→　z = pc･e^(pt)/[1 + qc･e^(pt)]　　　③
　
上に書いてあるように
　c = z0/(p - q･z0)　　　　④
のようなので、これを③に代入しますが、まずは③の右辺の分母・分子を c で割って

　z = pc･e^(pt)[]/[1 + qc･e^(pt)]
　　= p･e^(pt)/[(1/c) + q･e^(pt)]
④を代入して
　　= p･e^(pt)/[(p - q･z0)/z0 + q･e^(pt)]
分母・分子に z0 をかけて
　　= p･z0･e^(pt)/[(p - q･z0) + q･z0･e^(pt)]
　　= p･z0･e^(pt)/[p - q･z0 + q･z0･e^(pt)]
分母の中の「q･z0」でくくれるものをくくって
　　= p･z0･e^(pt)/[p + q･z0(e^(pt) - 1)]

この回答へのお礼

とても分かりやすく助かりました。対数を基礎からやり直します。

お礼日時：2023/04/18 23:39

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/18 23:16

(1/p)log{(1/c)z/(p-qz)}=t

→ log{(1/c)z/(p-qz)}=pt
→ (1/c)z/(p-qz)=exp(pt)
→ z/(p-qz)=cexp(pt)・・・・・・①

→ z=(p-qz)cexp(pt)=pcexp(pt)-qzcexp(pt)
→ z(1+qcexp(pt))=pcexp(pt)
→ z=pcexp(pt)/{ 1+qcexp(pt) }・・・・・②

①でt=0のとき、z=z₀ とすると
　z₀/(p-qz₀)=c
この cを②にいれて
　z={z₀/(p-qz₀)}pexp(pt)/{ 1+{z₀/(p-qz₀)}qexp(pt) }
　　=z₀pexp(pt)/{ p-qz₀+z₀qexp(pt) }
　　=z₀pexp(pt)/{ p+z₀q(exp(pt)-1) }