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A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
コラッツの数列{a(n)}は
a(1)を自然数とする
ある自然数nに対して
a(n)が偶数なら a(n+1)=a(n)/2 とする
a(n)が奇数なら a(n+1)=3a(n)+1 とする
と定義されます
N=(全自然数の集合)
写像
f:N→N
を
nが偶数なら f(n)=n/2
nが奇数なら f(n)=3n+1
と
定義すると
a(n)=(f^(n-1))(a(1))
となるけれども
一般項a(n)を純粋にnの式で表すことはできません
この例)に限らず
一般項a(n)を純粋にnの式で表すことができるものはほとんどありません
No.3
- 回答日時:
コラッツの数列{a(n)}は
a(1)を自然数とする
ある自然数nに対して
a(n)が偶数なら a(n+1)=a(n)/2 とする
a(n)が奇数なら a(n+1)=3a(n)+1 とする
と定義されます
N=(全自然数の集合)
写像
f:N→N
を
nが偶数なら f(n)=n/2
nが奇数なら f(n)=3n+1
と
定義すると
a(n)=(f^(n-1))(a(1))
No.2
- 回答日時:
a(n+1) = f(a(n))
で再帰的に定義される無限列の話でしょうね。
> 一般項a(n)をnの式で表せますか。
常に可能です。すなわち
a(n) = (f^n)(a(0))
運が良ければ、(f^n)をもっと簡単な関数で置き換えることができて、計算量を減らせる場合があります。たとえば、a(n)を計算するのにa(n-1)を計算しなくてもa(n/2)を計算すれば足りる、というようなことが起こるかも知れません。
また、信じられないほど運が良ければ、「nの式」は((f^n)のような再帰的に定義された記号や関数を全く含まない)非常に簡単な式になることがあります。
なお、
> それが偶数なら、Aという演算をして、奇数ならBという演算をした
ということは全く関係ありません。(たとえば、コラッツ予想で有名な数列は、運が良いというわけではない場合の一例にすぎません。)
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