図形と方程式

方程式x^2－2xy－3y^2＋8y＋k＝0　のグラフが2本の直線を表すとき、2本の直線の式とkの値は？
という問題なのですが、
解説に、これが1次式の積に因数分解できるとき、
2直線を表すとかいてあったのですが、なぜでしょうか？教えてください、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2005/04/21 18:42

もし、x^2－2xy－3y^2＋8y＋kが

　（１次式f）×（１次式g）
というふうに因数分解できたとします。
すると、
　（１次式f）×（１次式g）=0
ですから、
　（１次式f）=0、（１次式g）=0・・・(1)
となります。

「１次式=0」という式は直線の式ですから、(1)は２つの直線「（１次式f）=0」と「（１次式g）=0」を意味していることになり、つまりは、もとの式が２つの直線を表してることになります。

No.2 回答者： ken1tar0u 回答日時： 2005/04/21 18:43

一次式の積に分解されるということは次の形になるわけですね。

(ax + by + c)(sx + ty + u) = 0
これはつまり、
(1) ax + by + c = 0 または (2) sx + ty + y = 0
が成り立つということと同じです。（最初の式のかっこの中をそれぞれ A, B と置き換えたら、A×B=0 ですから、A = 0 または B = 0 ですよね。）
ここで改めて (1) (2) それぞれの式を見ると、どちらも直線の方程式ですよね。だから最初の式がこれら (1) と (2) で表される2本の直線を表していたわけです。
（ただし a = b = 0 の場合は (1) は不定になります。s = t = 0 の場合の (2) も不定。そもそも x と y の係数が両方とも 0 だったら、1次式じゃなくて0次式です。）

No.3 回答者： info22 回答日時： 2005/04/21 19:03

x^2－2xy－3y^2＋8y＋k

=(x+y-2)(x-3y+2)
と因数分解できたとすると
x^2－2xy－3y^2＋8y＋k=0を満たす点(x,y)は
(x+y-2)(x-3y+2)=0も満たしますね。
つまり、点(x,y)は、2本の直線
x+y-2=0　と　x-3y+2=0　.... (1)
のどちらかの一方、または、両方を満たす点でも
あるわけですね。
言い換えれば、点(x,y)は2本の直線上の点というわけです。どちらの直線上にあるかは分かりませんが、2本の直線のどちらの上の任意の点（x,y）でもありうるとき、点（x,y）は、(1)の2本の直線を表すというわけですね。

因数分解自体は、xの2次式と見なして、因数分解をすればいいですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
わかりました。

お礼日時：2005/04/22 20:12