ここの2階微分が分かりません。 g'(r)、x、rは全てxが入っているので商の微分も使い方が分からず

ここの2階微分が分かりません。
g'(r)、x、rは全てxが入っているので商の微分も使い方が分からず困ってます。
この後の方針だけでも良いのでどなたかご教授ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/09 00:40

質問の趣旨がよく判らんが、

f(x,y,z) = g(r) を xで 2階微分したいってこと？

x,y,z → r → g(r) という合成関数になってる
ことを見失わないようにするだけ。

左辺は
(∂/∂x)^2 f(x,y,z),
右辺は
(∂/∂x)^2 g(r) = (∂/∂x){ (∂/∂x)g(r) }
= (∂/∂x){ ((d/dr)g(r))・(∂r/∂x) }　←合成関数の微分
= (∂/∂x){ g’(r)・(x/r) }
= { (∂/∂x)g’(r) }・(x/r) + g’(r)・(∂/∂x)(x/r)　←積の微分
= { ((d/dr)g’(r))・(∂r/∂x) }・(x/r)　←合成関数の微分
　+ g’(r)・{ １・r - x・(∂r/∂x) }/r^2　←商の微分
= { g’’(r)・(x/r) }・(x/r)
　+ g’(r)・{ １・r - x・(x/r) }/r^2
= g’’(r)・(x/r)^2 + g’(r)・{ r^2 - x^2 }/r^3.
よって、
(∂/∂x)^2 f(x,y,z) = g’’(r)・(x/r)^2 + g’(r)・{ r^2 - x^2 }/r^3.

xや yで 2階微分する場合も全く同様。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
返事が遅くなってしまい申し訳ないです。

理解出来ました。ありがとうございました

お礼日時：2023/05/10 11:05

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/08 22:30

(∂/∂x)(g'(r)x/r)=(∂/∂x){(g'(r)/r) x}

=(∂/∂x)(g'(r)/r)x + g'(r)/r・1
={(∂/∂r)(g'(r)/r)}(∂r/∂x)x + g'(r)/r
={g''(r)/r-g'(r)/r²}(x/r)x + g'(r)/r
={g''(r)/r-g'(r)/r²}(x²/r) + g'(r)/r
={g''(r)-g'(r)/r}(x²/r²) + g'(r)/r
=g''(r)(x²/r²)+(1-x²/r²)g'(r)/r

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
返事が遅くなってしまい申し訳ないです。

理解出来ました。ありがとうございました！

お礼日時：2023/05/10 11:06