写真の数学の(1)のような問題はmで割って２次方程式のｘ^2の係数を１にすることは必須ですか？

写真の数学の(1)のような問題はmで割って２次方程式のｘ^2の係数を１にすることは必須ですか？

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/19 23:01

α<1<β

(1-α)(1-β)<0
1-(α+β)+αβ<0
1<α+β-αβ

3/(α+β-αβ)>0

f(x)
=mx^2-x-2
=m(x-α)(x-β)
=mx^2-m(α+β)x+mαβ

f(1)=m-3=m(1-α)(1-β)=m-m{(α+β)-αβ}

m-3=m-m{(α+β)-αβ}
-3=-m{(α+β)-αβ}

m{(α+β)-αβ}=3

m=3/{(α+β)-αβ}>0

∴m>0

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/19 20:53

どういう理由で

f(1) < 0
が出てきたんだろうか.

ひょっとして (いろいろ前提は省いて) 「α < 1 < β なら f(1) < 0」と盲信している?

No.5 回答者： AっKI 回答日時： 2023/05/19 17:50

No.3のところに書いてある

＞f(1)=m−3＜0
m＜3
と、もとの式に直接代入をしただけです

これは、グラフが下に凸、つまりｍ＞０のときの条件になるので
ここから
０＜ｍ＜３
となります。

が、この解答の場合、これでは不十分です。
グラフが上に凸、つまりｍ＜０の場合の吟味がないからです。
この場合に題意を満たすmが存在しないことの証明が必要です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/19 00:49

No.2 です。

#2 に書いたように、
　f(x) = mx^2 - x - 2　　　　①
のままやるなら、m の正負で場合分けが必要になります。

(a) m>0 のとき、y = f(x) のグラフは「下に凸の放物線」なので、α<1<β である条件は
　f(1) = m - 3 < 0
つまり、放物線は、x=1 のとき「x 軸よりも下にある」ということ。
よって
　0 < m < 3
（0<m は、最初に場合分けした条件)

(b) m<0 のとき、y = f(x) のグラフは「上に凸の放物線」なので、α<1<β である条件は
　f(1) = m - 3 > 0
つまり、放物線は、x=1 のとき「x 軸よりも上にある」ということ。
ところが、m<0 にはこれを満たすものはない。
（m<0 なら m - 3 < 0 だから）

ということで、(a) の場合のみで
　0 < m < 3
という範囲となる。


それを
　f(x) = x^2 - x/m - 2/m　　　　②
とおけば、y = f(x) のグラフは「下に凸の放物線」と決まるので
　f(1) = 1 - 3/m < 0
の一択となる。

これを解けば
　1 < 3/m　　　　③
(c) m>0 のとき、両辺に m をかけても不等号の向きは変わらないので
　m < 3
　よって、場合分けの条件とあわせて
　0 < m < 3
(d) m<0 のとき、両辺に m をかけると不等号の向きが変わり
　m > 3
　これは場合分けの条件を満たさない。

よって、(c) より
　0 < m < 3

結局、どちらのやり方でも m の正負で場合分けが必要になります。


模範回答では、不等号の向きが変わらないように、③の両辺に m^2 > 0 をかけて
　m^2 < 3m
→　m^2 - 3m < 0
→　m(m - 3) < 0
→　0 < m < 3
としています。
これだと場合分けの必要がない。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/18 23:53

「0<m が出ない」とはどういうこと?

どのように考えてどう処理していって, どこで何に困ったのかを＊具体的に＊書いてもらえないかな?

この回答へのお礼

f(1)=m−3＜0
m＜3

と、もとの式に直接代入をしただけです

お礼日時：2023/05/18 23:59

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/18 23:17

必須でもなんでもありませんが、

　mx^2 - x - 2 = 0
の2つの解が α、β であれば
　m(x - α)(x - β) = 0
と書けることは分かりますか？

また、最大・最小を調べるための「平方完成形」にするには、m≠0 として
　mx^2 - x - 2 = m[x - (1/2m)]^2 - 1/(4m) - 2
と書けることは分かりますか？

従って、
　y = mx^2 - x - 2 = m[x - (1/2m)]^2 - 1/(4m) - 2
のグラフは
・m>0 のとき
　下に凸の放物線
　頂点は (1/(2m), -1/(4m) - 2)
・m<0 のとき
　上に凸の放物線
　頂点は (1/(2m), -1/(4m) - 2)
ということになります。

これを、全体を m で割って
　y = x^2 - (1/m)x - 2/ｍ = [x - 1/(2m)]^2 - 1/(4m^2) - 2/m
とすれば、x^2 の係数は「１」になるので、m の値に係わらず「下に凸の放物線」だけを考えればよいことになります。
そのときの頂点は (1/(2m), -1/(4m^2) - 2/m)

つまり、m で割ることで「条件分けを簡単にする」ことができます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/18 22:15

NO.

この回答へのお礼

ですが、この問の場合、０＜mが出ないんです…

お礼日時：2023/05/18 22:17