整数問題 16 D####

本題

まず。積の形で表してみましたが、上手くいかず。。。

分数＝定数

これも、上手くいかず

ただし、素数は見つけました

識者の方のアプローチも教てください。

質問者からの補足コメント

• 

  証明に厳しい教授らしくない考え方ですね
  
  　(x-2) の候補は,1,2,3,6,y,(y+4),2y.3y.......
  
  は、かなりあります。
  
  (x-2)=6
  
  からだけで、答えが１つだけとは言えないとおもいます

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/20 11:57

• 

  お久しぶりですね
  
  この問題は広島大学過去問です
  私の嫌いな解説書物東京出版から問題のみ拾ってきました
  
  煮ても焼いても食えぬ解説でした
  
  難易度　D####
  
  に釣られて私も考えてみました
  
  本問は、答えは直ぐわかるのですが、ほかにないことを示すのが難儀なのでしょう
  
  ご評価、ご指導ください
  
  以下答案

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/20 15:36

• 

  この問題は広島大学過去問です
  私の嫌いな解説書物東京出版から問題のみ拾ってきました
  
  煮ても焼いても食えぬ解説でした
  
  難易度　D####
  
  に釣られて私も考えてみました
  
  本問は、答えは直ぐわかるのですが、ほかにないことを示すのが難儀なのでしょう
  
  ご評価、ご指導ください
  
  以下答案

  
    補足日時：2023/05/20 15:41

• 

  ご指摘ありがとうございます。
  
  鋭いツッコミに感謝します。
  
  洗練された数学をなさる方なのですね
  
  今日から、博士と呼ばせてください
  
  早速ですが、博士
  
  ご指摘部分、改めました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/21 06:28

No.9 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/25 19:25

(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)…(1)

yは素数だから
yは(x-2),(x-1),(x+3)のどれかの素因数(約数)
x-1<y と仮定すると
yは(x+3)の素因数(約数)だけれども
x-1<y<x+3となるような(x+3)の約数yは存在しないから
∴
y=x+3
これを(1)に代入してyを求めると
y=(15+√241)/2
15<y=(15+√241)/2<16だから
yが整数である事に矛盾するから
∴
y≦x-1…(2)
↓両辺に4を加えると
y+4≦x+3
↓これと(2)をかけると
y(y+4)≦(x-1)(x+3)
↓両辺に6をかけると
6y(y+4)≦6(x-1)(x+3)
↓左辺に(1)を代入すると
(x-2)(x-1)(x+3)≦6(x-1)(x+3)
↓両辺を(x-1)(x+3)で割ると
x-2≦6
∴
x≦8

x≦7の場合は不適となるから
∴
x=8

この回答へのお礼

素敵な解き方だと思います

ありがとうございます

お礼日時：2023/05/26 12:11

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/25 17:07

法を４に取ってはいません.よくみてください

(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)

yは素数だから
yは(x-2),(x-1),(x+3)のどれかの素因数

x-1<y と仮定すると

yは(x+3)の素因数(約数)だから
x+3=ky となる自然数kがある

6(x-1)(x+3)<6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)
6<x-2
5<8<xだから
2(x-1)-(x+3)=2x-2-x-3=x-5>0
x-1<yだから
k(x-1)<ky=x+3<2(x-1)
k<2
k=1
x+3=y
x-1=y-4
x-2=y-5
(y-5)(y-4)y=(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)
(y-5)(y-4)=6(y+4)
y^2-9y+20=6y+24
y^2-15y=4
(y-15/2)^2-241/4=0
{y-(15+√241)/2}{y+(√241-15)/2}=0
↓{y+(√241-15)/2}>0だから
y=(15+√241)/2
15<y=(15+√241)/2<16だから
yが整数である事に矛盾するから
∴
y≦x-1

(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≦6(x-1)(x+3)
x-2≦6
∴
x≦8

この回答へのお礼

大変失礼しました。

ごめんなさい。

from minamino

お礼日時：2023/05/26 12:10

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/23 20:16

(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)

yは素数だから
yは(x-2),(x-1),(x+3)のどれかの素因数

x-1<y と仮定すると

yは(x+3)の素因数(約数)だから
x+3=ky となる自然数kがある

6(x-1)(x+3)<6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)
6<x-2
5<8<xだから
2(x-1)-(x+3)=2x-2-x-3=x-5>0
x-1<yだから
k(x-1)<ky=x+3<2(x-1)
k<2
k=1
∴
x+3=y
x-1=y-4
x-2=y-5
(y-5)(y-4)y=(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)
(y-5)(y-4)=6(y+4)
y^2-9y+20=6y+24
y^2-15y=4
(y-15/2)^2-241/4=0
{y-(15+√241)/2}{y+(√241-15)/2}=0
↓{y+(√241-15)/2}>0だから
y=(15+√241)/2
15<y=(15+√241)/2<16だから
yが整数である事に矛盾するから
∴
y≦x-1

(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≦6(x-1)(x+3)
x-2≦6
∴
x≦8…(1)

yは素数だから
y≧2
y+4≧6
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧72
x≦4と仮定すると
x-2≦2,x-1≦3,x+3≦7
(x-2)(x-1)(x+3)≦42<72
72≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧5
x-2≧3,x-1≧4,x+3≧8
6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)≧96
y=2と仮定すると
6y(y+4)=72<96
96≦6y(y+4)に矛盾するから
y≧3
yは奇数
y+4≧7
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧126
x=5と仮定すると
x-2=3,x-1=4,x+3=8
(x-2)(x-1)(x+3)=96<126
126≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧6
x-2≧4,x-1≧5,x+3≧9
6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)≧180
y=3と仮定すると
6y(y+4)=126<180
180≦6y(y+4)に矛盾するから
y≧5
y+4≧9
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧270
x=6と仮定すると
x-2=4,x-1=5,x+3=9
(x-2)(x-1)(x+3)=180<270
270≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧7
x-2≧5,x-1≧6,x+3≧10
6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)≧300
y=5と仮定すると
6y(y+4)=270<300
300≦6y(y+4)に矛盾するから
∴
y≧7
y+4≧11
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧462
x=7と仮定すると
x-2=5,x-1=6,x+3=10
(x-2)(x-1)(x+3)=300<462
462≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧8
↓これと(1)から
∴
x=8

この回答へのお礼

感想

まず、答案が長すぎる

そのためか、正解へのプロセスの理解に大変苦しむ

法を４に取るのは得策ではない　

私の嫌いな東京出版でも４を法にとっていたが

大変難解な議論を展開している

ズバリ７を法にとって議論を進めるのが、シンプルで美に溢れた考え方ではないでしょうか。

この答案では、どうにか正解に辿り着いた感があり、芸がない

では

from minamino

お礼日時：2023/05/25 06:00

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/22 20:31

図の通り

この回答へのお礼

大変恐縮ではございますが

文字が不鮮明で、読めません

恐れ入りますが

https://imgur.com/a/2sn58nV

などでUp していただければと思います。

お礼日時：2023/05/25 06:04

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/21 19:49

x^3-7x+6=6y^2+24y

(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)

yは素数だから
yは(x-2),(x-1),(x+3)のどれかの素因数だから
その最大値(x+3)より大きくなることはないから
y≦x+3
y+4≦x+7
6y(y+4)≦6(x+3)(x+7)
↓(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)だから
(x-2)(x-1)(x+3)≦6(x+3)(x+7)
(x-2)(x-1)≦6(x+7)
x^2-3x+2≦6x+42
x^2-9x≦40
(x-9/2)^2≦241/4
x-9/2≦√241/2
15^2=225<241<256<16^2
15<√241<16

x≦(9+√241)/2<13 …(1)

y≦x+3<16

yは素数だから
y≧2
y+4≧6
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧72
x≦4と仮定すると
x-2≦2,x-1≦3,x+3≦7
(x-2)(x-1)(x+3)≦42<72
72≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧5
x-2≧3,x-1≧4,x+3≧8
6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)≧96
y=2と仮定すると
6y(y+4)=72<96
96≦6y(y+4)に矛盾するから
y≧3
yは奇数
y+4≧7
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧126
x=5と仮定すると
x-2=3,x-1=4,x+3=8
(x-2)(x-1)(x+3)=96<126
126≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧6
x-2≧4,x-1≧5,x+3≧9
6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)≧180
y=3と仮定すると
6y(y+4)=126<180
180≦6y(y+4)に矛盾するから
y≧5
y+4≧9
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧270
x=6と仮定すると
x-2=4,x-1=5,x+3=9
(x-2)(x-1)(x+3)=180<270
270≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧7
x-2≧5,x-1≧6,x+3≧10
6y(y+4)=(x-2)(x-1)(x+3)≧300
y=5と仮定すると
6y(y+4)=270<300
300≦6y(y+4)に矛盾するから
∴
y≧7
y+4≧11
(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)≧462
x=7と仮定すると
x-2=5,x-1=6,x+3=10
(x-2)(x-1)(x+3)=300<462
462≦(x-2)(x-1)(x+3)に矛盾するから
x≧8
↓これと(1)から
8≦x<13 …(2)

yは奇数だから
y=±1(mod4)
y^2=1(mod4)
4y=0(mod4)
y(y+4)=y^2+4y=1(mod4)
3y(y+4)=3(mod4)
6y(y+4)=2(mod4)
↓(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)だから
∴
(x-2)(x-1)(x+3)=2(mod4)
x=1(mod4)と仮定すると
(x-2)(x-1)(x+3)=0(mod4)となって
(x-2)(x-1)(x+3)=2(mod4)に矛盾するからx≠1(mod4)
x=2(mod4)と仮定すると
(x-2)(x-1)(x+3)=0(mod4)となって
(x-2)(x-1)(x+3)=2(mod4)に矛盾するからx≠2(mod4)
x=3(mod4)と仮定すると
(x-2)(x-1)(x+3)=0(mod4)となって
(x-2)(x-1)(x+3)=2(mod4)に矛盾するからx≠3(mod4)
∴
x=0(mod4)
x=4jとなる整数jがある
(x-2)(x-1)(x+3)
=(4j-2)(4j-1)(4j+3)
=
2(2j-1)(4j-1)(4j+3)=6y(y+4)

(2j-1)(4j-1)(4j+3)=3y(y+4)
↓3y(y+4)=3(mod4)だから
∴
(2j-1)(4j-1)(4j+3)=3(mod4)

jが奇数と仮定すると
j=1,3(mod4)
j=1(mod4)と仮定する
(2j-1)(4j-1)(4j+3)=1(mod4)となって
(2j-1)(4j-1)(4j+3)=3(mod4)に矛盾するから
j=3(mod4)
(2j-1)(4j-1)(4j+3)=1(mod4)となって
(2j-1)(4j-1)(4j+3)=3(mod4)に矛盾するから
jは偶数だから
∴
x=4j=0(mod8)

↓これと(2)8≦x<13から
∴
x=8
x-2=6
x-1=7
x+3=11
(x-2)(x-1)(x+3)=6*7*11=6y(y+4)
∴
y=7

この回答へのお礼

教授も意地で考え抜かれたようですが

まず、答案が長すぎる

考え方のプロセスが冗長すぎて、何が述べたいのか、理解に苦しむ

４を法にとるのは賛成できない

私は、数学は着眼点こそが全てだと思っていますが

その観点からも頂ける答案ではありません

では、

from minamino

お礼日時：2023/05/22 23:22

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/20 21:52

「私の考え方」自体は #2 に書いてあるよ.

さて, 「因数」といれてもまだまずい. f(x) や g(y) の
多項式としての因数
を考えるのか
(x や y になんらかの数値を入れて得られる) 関数値 (という数値) の因数
を考えるのかによって, 話が違ってくる.

なお g(y) = 42(7k+3)(k+1) に対して (7k+3) - (k+1) のみを考えているけど, 42 = 2×3×7 だから例えば 14(7k+3)(3k+3) を考えてはいけない理由が書かれてないよ.

この回答へのお礼

>「私の考え方」自体は #2 に書いてあるよ.

>x-2 ≦ 6 が確定.

それで。そんなこと誰でも簡単に始めに見とおしていると思うけどね

ちゃんと、最後まで処理してくださいね

待ってまーす

お礼日時：2023/05/21 11:06

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/20 15:51

あんまりまじめには見てないけど, その画像のやつだと少なくとも

「最大と最小の差」
という表現はまずい. 言葉をきちんと書いて誤解されないようにしないとダメ. なお g についてはそれがなぜ「最大と最小の差」になるのかを書く必要もある.

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます

各因数の最大と最小の差とか書き加えればよかったですかね

貴殿の考え方も教えていただけると幸いです

お礼日時：2023/05/20 16:20

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/20 15:14

3+1 = 4 だからなぁ....

さておき.

「可能性をつぶす」ことはできそうだね.

#1 から
(x-2)(x-1)(x+3) = 6y(y+4)
で, y=2 は不可能. y>2 なら y と y+4 は互いに素なので x-2 > 6 は矛盾, つまり x-2 ≦ 6 が確定.

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/20 11:16

x^3-7x+6=6y^2+24y

(x-2)(x-1)(x+3)=6y(y+4)

x-2=6→x=8→x-1=7
7=x-1=y
x+3=y+4

∴
x=8
y=7

この回答へのお礼

教授こんにちは。

早速ですが、

>x-2=6

だけだと、何故限定できるのですか？

お礼日時：2023/05/20 11:39