平均値の定理を利用(?) arcsin(x/√(1+x^2))=arctanxの証明をお願いします

平均値の定理を利用(?)
arcsin(x/√(1+x^2))=arctanxの証明をお願いします

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/27 18:47

f(x) = arcsin(x/√(1+x^2)) - arctan x と置きましょうか。

y = arcsin w のとき、 w = sin y を微分して dw/dy = cos y より
dy/dw = 1/(dw/dy) = 1/cos y = 1/√(1 - (sin y)^2) = 1/√(1 - w^2).
これを使って、
(d/dx) arcsin(x/√(1+x^2)) = { 1/√(1 - (x/√(1+x^2))^2) }・(d/dx) x/√(1+x^2)
= { √(1+x^2) }・｛ 1/√(1+x^2) + x・(-1/2)((1+x^2)^(-3/2))・2x ｝
= 1/(1+x^2).

また、
y = arctan x のとき、 x = tan y を微分して dx/dy = 1/(cos y)^2 より
dy/dx = (cos y)^2 = 1/(1 + (tan y)^2) = 1/(1+x^2).

以上より (d/dx) f(x) = 0.
f(0) = 0 と併せると、 f(x) は定数関数 0 だと言える。
すなわち、与式が成り立つ。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/26 16:40

θ=arctan(x)

とすると
-π/2<θ<π/2
tan(θ)=x
x^2=(tanθ)^2
1+x^2=1+(tanθ)^2
1+x^2=1+(sinθ/cosθ)^2
1+x^2={(cosθ)^2+(sinθ)^2}/(cosθ)^2
1+x^2=1/(cosθ)^2
-π/2<θ<π/2→cosθ>0だから
√(1+x^2)=1/cosθ
1/√(1+x^2)=cosθ
x/√(1+x^2)=cosθtanθ
x/√(1+x^2)=cosθ(sinθ/cosθ)
x/√(1+x^2)=sinθ
arcsin(x/√(1+x^2))=θ
arcsin(x/√(1+x^2))=θ=arctan(x)
∴
arcsin(x/√(1+x^2))=arctan(x)

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/26 11:09

「平均値の定理」ではなく「三平方の定理」ですね。

sinθ の値が x/√(1+x²) と云う事は、
直角三角形にすると、高さが x 、斜辺が √(1+x²) ですから、
底辺は √[{√(1+x²)}²-x²]=√1=1 。
つまり tanθ=x/1=x 。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/26 11:02

arcsin(x/√(1+x^2)) = θ1

とは、-π/2≦θ1≦π/2 として
　sin(θ1) = x/√(1+x^2)
ということです。

同様に、
arctan(x) = θ2
とは、-π/2<θ1<π/2 として
　tan(θ2) = x
ということです。

隣り合う直角をはさむ辺の長さが 1, x (x>0) の直角三角形の斜辺の長さは
　√(1 + x^2)
になりますから、辺 x の対角を θ とすれば、0<θ<π/2 であり
　sin(θ) = x/√(1 + x^2)
　tan(θ) = x
となります。

従って、
　θ1 = θ2 = θ
になります。

x<0 に対して -π/2<θ<0 とすれば同様のことがいえます。
（このときは「図形」でなくて「x-y 平面上の座標」で考える必要があるが）

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/26 10:20

xが非負なら

直角三角形の隣辺の長さを1とxとすると
斜辺の長さは√(1+x²)
だから
sinθ=x/√(1+x²)
tanθ=x

xが負の場合もほぼ同様。