t²+2at+a-4＝0が-1<t<1の範囲に１個とt<-1または1<tの範囲に1個の解をもつときf

t²+2at+a-4＝0が-1<t<1の範囲に１個とt<-1または1<tの範囲に1個の解をもつときf(-1)f(1)<0が成り立つのが分かりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/11 11:10

図の通り

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/04 15:57

f(t) = t²+2at+a-4

とする。すると
　f(1)f(-1)=-3(a-1)(a+3)・・・・①

f(t)=0 の2根は
　t=-a±√(a²-a+4)

1. 　-a-√(a²-a+4)<-1 and -1<-a+√(a²-a+4)<1 のとき
後者より
　√(a²-a+4)<1+a・・・②
②の両辺2乗して
　a²-a+4<1+2a+a² → a>3
すると①から
　f(1)f(-1)<0

2. 　-1<-a-√(a²-a+4)<1 and 1<-a+√(a²-a+4) のとき
前者より
　√(a²-a+4)<1-a
これを2乗して
　a²-a+4<1-2a+a² → a<-3
すると①から
　f(1)f(-1)<0

よって、命題は証明された。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/04 12:37

書いてないけど、f(t) = t²+2at+a-4 ってことなのかな？

f(t) = 0 は二次方程式だから、最大で 2個の解を持ち、
-1 < t < 1 の範囲意外に t < -1 または 1 < t の範囲にも解があるのだから、
-1 < t < 1 の範囲の解は重解ではない。　←これ重要

-1 < t < 1 の範囲の解を t = c と置くと、t = c は重解でないので、
t = c の近傍で t < c と t > c では f(t) の符号が異なる。　←[0]

-1 ≦ t < c の範囲で f(t) の符号変化があると、
中間値の定理から -1 ≦ t < c の範囲にも f(t) = 0 の解があることになって
-1 < t < 1 の範囲で f(t) = 0 の解が t = c のみであることに反する。
よって、-1 ≦ t < c の範囲で f(t) は定符合である。　←[1]

c < t ≦ 1 の範囲でも、同様にして f(t) は定符合である。　←[2]

[0][1][2] より、 f(-1) と f(1) の符号は異なる。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/04 12:00

t で書いても x で書いても同じなので、いつもおなじみの x で書くと

f(x) = x^2 + 2ax + a - 4
　　= (x + a)^2 - a^2 + a - 4

であり、
　y = f(x)
のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a, -a^2 + a - 4)
・軸は x=-a
になります。
このグラフの「x 軸との交点」つまり y=0 のときの x の値が
　x^2 + 2ax + a - 4 = 0
の解であることは分かりますね？

その解が
・-1 < x < 1 にひとつ
・x < -1 にひとつ
であれば、それは
　y = f(x) のグラフは「x < -1」と「-1 < x < 1」の２点で x軸と交わっている
ということです。
「下に凸の放物線」なので、グラフを描いてみれば分かるように、これは
　x=-1 のとき f(-1) < 0
　x=1 のとき f(1) > 0
になっています。

同様に、その解が
・-1 < x < 1 にひとつ
・1 < x にひとつ
であれば、それは
　y = f(x) のグラフは「-1 < x < 1」と「1 < x」の２点で x軸と交わっている
ということです。
「下に凸の放物線」なので、グラフを描いてみれば分かるように、これは
　x=-1 のとき f(-1) > 0
　x=1 のとき f(1) < 0
になっています。

つまり、どちらの場合にも
　f(-1)･f(1) < 0
になっています。（ただし、どちらが正で、どちらが負かは逆転）


問題文の「t<-1または1<tの範囲に1個」というのを漠然と考えるのではなくて、「t<-1 のとき」と「1<t のとき」に分けて考えないといけません。
そうすれば理解できるでしょう？