No.3
- 回答日時:
f(t) = t²+2at+a-4
とする。すると
f(1)f(-1)=-3(a-1)(a+3)・・・・①
f(t)=0 の2根は
t=-a±√(a²-a+4)
1. -a-√(a²-a+4)<-1 and -1<-a+√(a²-a+4)<1 のとき
後者より
√(a²-a+4)<1+a・・・②
②の両辺2乗して
a²-a+4<1+2a+a² → a>3
すると①から
f(1)f(-1)<0
2. -1<-a-√(a²-a+4)<1 and 1<-a+√(a²-a+4) のとき
前者より
√(a²-a+4)<1-a
これを2乗して
a²-a+4<1-2a+a² → a<-3
すると①から
f(1)f(-1)<0
よって、命題は証明された。
No.2
- 回答日時:
書いてないけど、f(t) = t²+2at+a-4 ってことなのかな?
f(t) = 0 は二次方程式だから、最大で 2個の解を持ち、
-1 < t < 1 の範囲意外に t < -1 または 1 < t の範囲にも解があるのだから、
-1 < t < 1 の範囲の解は重解ではない。 ←これ重要
-1 < t < 1 の範囲の解を t = c と置くと、t = c は重解でないので、
t = c の近傍で t < c と t > c では f(t) の符号が異なる。 ←[0]
-1 ≦ t < c の範囲で f(t) の符号変化があると、
中間値の定理から -1 ≦ t < c の範囲にも f(t) = 0 の解があることになって
-1 < t < 1 の範囲で f(t) = 0 の解が t = c のみであることに反する。
よって、-1 ≦ t < c の範囲で f(t) は定符合である。 ←[1]
c < t ≦ 1 の範囲でも、同様にして f(t) は定符合である。 ←[2]
[0][1][2] より、 f(-1) と f(1) の符号は異なる。
No.1
- 回答日時:
t で書いても x で書いても同じなので、いつもおなじみの x で書くと
f(x) = x^2 + 2ax + a - 4
= (x + a)^2 - a^2 + a - 4
であり、
y = f(x)
のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a, -a^2 + a - 4)
・軸は x=-a
になります。
このグラフの「x 軸との交点」つまり y=0 のときの x の値が
x^2 + 2ax + a - 4 = 0
の解であることは分かりますね?
その解が
・-1 < x < 1 にひとつ
・x < -1 にひとつ
であれば、それは
y = f(x) のグラフは「x < -1」と「-1 < x < 1」の2点で x軸と交わっている
ということです。
「下に凸の放物線」なので、グラフを描いてみれば分かるように、これは
x=-1 のとき f(-1) < 0
x=1 のとき f(1) > 0
になっています。
同様に、その解が
・-1 < x < 1 にひとつ
・1 < x にひとつ
であれば、それは
y = f(x) のグラフは「-1 < x < 1」と「1 < x」の2点で x軸と交わっている
ということです。
「下に凸の放物線」なので、グラフを描いてみれば分かるように、これは
x=-1 のとき f(-1) > 0
x=1 のとき f(1) < 0
になっています。
つまり、どちらの場合にも
f(-1)・f(1) < 0
になっています。(ただし、どちらが正で、どちらが負かは逆転)
問題文の「t<-1または1<tの範囲に1個」というのを漠然と考えるのではなくて、「t<-1 のとき」と「1<t のとき」に分けて考えないといけません。
そうすれば理解できるでしょう?
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