積分について教えてほしいです。 I=∫[0→1] 1/√(-logx) dx、J=∫[0→1] √(

積分について教えてほしいです。
I=∫[0→1] 1/√(-logx) dx、J=∫[0→1] √(-logx) dx

1. JをIで表せ。
2. ∫[0→∞] e^-x^2 dx=√π/2を用いてJを求めよ。

ご教授お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/11 15:39

J=∫[0→1] √(-logx) dx

　　=[x√(-logx)][1,0]-∫[0→1] x{ 1/(2√(-logx)) }(-1/x) dx
　　=0+(1/2)∫[0→1] dx/√(-logx)
　　=I/2

ここで
　x√(-logx)=√(-logx)/(1/x)・・・・ロピタル
→ 1/(2√(-logx))(-1/x)/(-1/x²)=x/(2√(-logx)) → 0 (x → +0)


y=exp(-x²) → dy=exp(-x²)(-2x)dx
→ x=√(-logy)

　J=(1/2)∫[0→1] 1/√(-logy) dy
　　=(1/2)∫[∞→0] (1/x)exp(-x²)(-2x)dx
　　=∫[0→∞] exp(-x²)dx
　　=(√π)/2

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/14 00:13