f(x,y)=x/(x^2+y^2+1) |f(x,y)|<=1/2であることを示せ。 f(x,y)

f(x,y)=x/(x^2+y^2+1)
|f(x,y)|<=1/2であることを示せ。

f(x,y)の極値を求めればいいですか？
この問題教えて下さい。

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/14 19:49

まあ、極値を求めればいいんだけど、

実際求めるべきものは上界だから
あとひと手間必要だよね。
極値と境界での値を調べれば最大値が判るから、
lim[|(x,y)|→∞] f(x,y) の評価が必要。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/14 21:15

No.4 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/06/14 10:15

この問題で極値を求めればいいなどと回答する人ははっきり言って数学のセンスがないでしょう。

|x/(x^2+y^2+1)|
≦|x|/(x^2+y^2+1)
≦(1/2)(x^2+1)/(x^2+y^2+1)
≦1/2
でいいですよね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/14 04:19

f(x,y)=x/(x^2+y^2+1)

x^2+y^2+1-2|x|
=x^2-2|x|+1+y^2
=(|x|-1)^2+y^2
≧0
だから

0≦x^2+y^2+1-2|x|
2|x|≦x^2+y^2+1

↓両辺を2(x^2+y^2+1)で割ると

|f(x,y)|=|x/(x^2+y^2+1)|≦1/2

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/14 21:15

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/14 00:40

f(0,y)=0・・・①

x≠0 とする。
　|f|=1/(|x|+y²/|X|+1/|x|)

AM-GM不等式から |x|+1/|x|≧2 なので

　|f|≦1/(2+y²/|x|)≦1/2・・・y=0 とおいて
①から、x=0 のときは 1/2以下なので、与式が成立する。

ちなみに、等号成立は
　|x|=1/|x|, y=0 → x=±1, y=0

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/14 21:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/14 00:21

うん, 極値を求めればいいよ.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/14 00:25