No.7ベストアンサー
- 回答日時:
「数学的帰納法」は、
「n=1,k,k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明」ではないです。
「数学的帰納法」とは、
『n=1のとき成り立ち、かつ、kのとき成り立つと仮定するとk+1のときも成り立つこと
を示すことができれば、すべての自然数nのとき成り立つことを示したと言ってよい。』
という公理です。この呪文は、細部まできっちり覚える必要があります。
「わざわざ仮定と表現する」のは、数学的帰納法の中にその文言が含まれている
からです。それ以上でもそれ以下でもありません。
なぜ『 』のように言えるか?については、情緒的には No.2 のようなことですが、
数学的に厳密な話としては、数学的帰納法は自然数を定義する公理群のひとつ
だから。平たく言うと、要するに自然数ってそういうものだからです。
それが数学の基礎なので、公理より前に遡って理由を探しても意味がありません。
No.6
- 回答日時:
n=1、k,k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明ではありません
n=1のとき成り立つことを証明して
ある自然数kに対して
n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のとき成り立つことを証明するのです
例)
P(n)=[Σ_{m=1~n}m = n(n+1)/2]
とする
P(1)=[Σ_{m=1~1}m=1= 1(1+1)/2]は真
ある自然数kに対して
P(k)=[Σ_{m=1~k}m = k(k+1)/2]が真と仮定すると
Σ_{m=1~k}m = k(k+1)/2
↓両辺にk+1を加えると
(Σ_{m=1~k}m)+(k+1) = (k+1)+k(k+1)/2
Σ_{m=1~k+1}m = (k+1)(k+2)/2
だから
P(k+1)=[Σ_{m=1~k+1}m = (k+1)(k+2)/2]
も真
となるから
--------------------------
P(1)は真
P(1)が真だからP(2)も真
P(2)が真だからP(3)も真
P(3)が真だからP(4)も真
P(4)が真だからP(5)も真
P(5)が真だからP(6)も真
P(6)が真だからP(7)も真
P(7)が真だからP(8)も真
P(8)が真だからP(9)も真
…
P(k)が真だからP(k+1)も真
…
---------------------------
すべての自然数nに対して(P(n)が真だから)
Σ_{m=1~n}m = n(n+1)/2
が成り立つ
No.5
- 回答日時:
n=1、k,k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明ではありません
n=1のとき成り立つことを証明して
ある自然数kに対して
n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のとき成り立つことを証明するのです
例)
P(n)=[Σ_{m=1~n}m = n(n+1)/2]
とする
P(1)=[Σ_{m=1~1}m=1= 1(1+1)/2]は真
ある自然数kに対して
P(k)=[Σ_{m=1~k}m = k(k+1)/2]が真と仮定すると
Σ_{m=1~k}m = k(k+1)/2
↓両辺にk+1を加えると
(Σ_{m=1~k}m)+(k+1) = (k+1)+k(k+1)/2
Σ_{m=1~k+1}m = (k+1)(k+2)/2
だから
P(k+1)=[Σ_{m=1~k+1}m = (k+1)(k+2)/2]
も真
となるから
すべての自然数nに対して(P(n)が真だから)
Σ_{m=1~n}m = n(n+1)/2
が成り立つ
No.4
- 回答日時:
とりあえず, 数学的帰納法をきちんと理解することをお薦めするよ.
そうすれば, 「n=1、k,k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明で」なんてトンチンカンなことを書かなくなるから.
No.3
- 回答日時:
n=1 のときは 実際に 代入すれば 正しいことが 分かりますね。
でも n=k の時って 代入しても 正しいことが 分かりませんね。
ですから n=k のときに 成り立つと仮定して、n=k+1 のときに
成り立つならば n は 全ての整数で成り立つ。
これが 数学的帰納法での 証明方法です。
No.2
- 回答日時:
成り立つと仮定するとk+1でも成立つ、と言う論法だからです。
成り立たなかったら、この論法を使えません。
n=1の時に成立つ事を確認する。ここが出発点
k、k+1に順番の自然数を代入して進む。
k=1の時に成立つと仮定すると、1で成立つ事が確認出来てるから、k=2も成立つ事が結論付けられる。
k=2の時に成立つと仮定すると、k=2は上でokだったから、k=3も成立つ。
k=3の時に成立つと仮定すると、k=3は上でokだったから、k=4も成立つ。
・
・
こうやって連鎖反応で無限に進むわけ。
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