次の複素数を極形式で表せ。偏角θの範囲は0≦θ＜2πとする -4( cosπ/5+i sinπ/5)

次の複素数を極形式で表せ。偏角θの範囲は0≦θ＜2πとする
-4( cosπ/5+i sinπ/5)
という問題についてでマイナスをカッコの中に入れて- cosθ= cos(π＋θ)を解答では利用して解いているのですがこの変換が瞬時にできるようになるには何を考えればよいのでしょうか？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/19 05:49

-1=e^(iπ)

と考えて

-1をe^(iπ)に置き換えればよい

cosθ+i sinθ=e^(iθ)
だから
cos(π/5)+i sin(π/5)=e^{i(π/5)}

-4{ cos(π/5)+i sin(π/5)}
=4(-1){ cos(π/5)+i sin(π/5)}
=4e^(iπ)e^{i(π/5)}
=4e^{i(π+π/5)}
=4e^{i(6π/5)}
=4{cos(6π/5)+i sin(6π/5)}

No.5 回答者： ecis 回答日時： 2023/07/14 19:02

(x,y)=(-cosπ/5,-sinπ/5)

このようになる場所を図で書いて見るとπ/5にπを足したところになりますよね。
なので(-cosπ/5,-sinπ/5)=(cos(π/5+π),sin(π/5+π))となります。

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2023/07/10 17:15

極形式で表された複素数の積の計算を考えます。

z₁＝r₁(cosθ₁ + i sinθ₁)
z₂＝r₂(cosθ₂ + i sinθ₂)
とすると、
z₁z₂=r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}

-1=cosπ + i sinπ
なので、

-4{cos(π/5) + i sin(π/5)}

= (-1) × 4{cos(π/5) + i sin(π/5)}

= (cosπ + i sinπ) × 4{cos(π/5) + i sin(π/5)}

= 4{cos(π+π/5) + i sin(π+π/5)}

= 4{cos(6π/5) + i sin(6π/5)}

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/03 19:47

複素数平面上で、原点中心、半径 4 の円周を考えればよい。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/03 15:20

要するに「マイナス付き」でなくせばよいわけです。

r≧0 として

-4[cos(π/5) + i･sin(π/5)] = r(cosθ + i･sinθ)

で表わせと。

当然のことながら
　r = 4
は明確なので、
　-cos(π/5) = cosθ　　　①
　-sin(π/5) = sinθ　　　②
となる θ を求めればよいわけです。
0<π/5<π/2 なので
　cos(π/5) > 0, sin(π/5) > 0
ですから、
　cosθ<0. sinθ<0
で、θ は「第３象限」ということが分かります。

第３象限で①、②が成り立つのは
　θ ＝ π/5 + π
だというのは、何も考えなくともすぐわかりますよね？

①だけで考えれば
　θ = π ± π/5
だし、②だけで考えれば
　θ = π + π/5、2π - π/5
ですから、そのうち「共通の」「第３象限」のものを選べばよいわけです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/03 14:43

> 何を考えれば

いや、特には何も。素直に
　　-1 = e^(iπ)
を使って
　　-4(cos(π/5) + i sin(π/5))
　　= 4(e^(iπ))(e^(iπ/5))
　　= ...
と機械的に進めれば間違いがないと思います。