物理の単振動です。 原点が自然長に設定されている場合、運動方程式から単振動することを示すにはどうすれ

物理の単振動です。

原点が自然長に設定されている場合、運動方程式から単振動することを示すにはどうすればいいですか？

No.3 回答者： yos1912 回答日時： 2023/07/10 21:57

高校のときは単振動の定義を　Ｆ＝－Ｋｘ　と習った記憶があります(sinのついた式ではありません)。

摩擦がないのなら、何も考えることはないと思います。振り子の運動もこの式で表せることを証明して単振動という説明でした。もっとも振り子については近似がいい加減すぎてそうでないと後でわかったときはショックでした。
　この式から、sinの入った式への変換は３年の時の数学で置換積分を使う説明で習いました。置換積分が習得できるまではこれでいいという判断だったのでしょう。でも、置換積分ができてもいちいちやる必要はないですね。そうなるのはわかっていますから。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/05 10:58

高校生ですか？

高校生には「運動方程式から単振動であることを導く」のはちょっと難しいかと思います。

大学生になって、「微分・積分」が活用できるようであれば
・中立位置：Xc
　ばねのつり合いから
　　mg･sinθ = -k･Xc　　　　①

・おもりに働く力：摩擦や空気の抵抗は考えない。
　ばねの復元力：つり合い点からの変位に比例するので、①を使って
　　F = -k･(x - Xc) = -kx - mg･sinθ

・変位 x における加速度は
　a = d²x/dt²

よって、運動方程式 F = ma は
　 -k･x - mg･sinθ = m･d²x/dt²　　　②

この微分方程式を解けばよいです。


単純には、「つり合い位置からの変位」に変数変換して
　y = x - Xc = x - mg･sinθ/k　　　　③
とすれば
　dx/dt = dy/dt
　d²x/dt² = d²y/dt²
となることを使えば、②は
　d²y/dt² = -(k/m)y　　　　　　④
と書けて、この一般解は

　y = C1･cos(ωt) + C2･sin(ωt)　　　⑤
ただし
　ω = √(k/m)

となります。
これは、三角関数の合成を使えば
　y = C3･sin(ωt + Φ)　　　　⑥
と変形でき、単振動の式です。

③の変数変換を元に戻せば
　x = C3･sin(ωt + Φ) + mg･sinθ/k
つまり「長さ mg･sinθ/k （おもりをつけたつり合い長さ）を中心とした単振動」の式になります。

積分定数による C3、Φ の値は、初期条件によって決まります。
t=0 のときの変位、速度などが初期条件になります。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/05 09:46

微分方程式が

d^2x/dt^2 = -Kx (Kは適当な正の定数)
の形になれば単振動です。

A, C, B の意味が書いてないので、式を立てられないけど。