漸化式について

漸化式と積分はとても近い関係だと思います。

a[n+1]=a[n]+1,a[1]=1
a[n]=n

a[n+1]=a[n]+n,a[1]=1
a[n]=(1/2)(n)(n-1)+1

となぜか2次以降の多項式では積分と少しズレます。なぜかわかりません。ただオーダーは積分と同じです。

漸化式について詳しく教えてくれませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/21 12:52

No.1訂正

>> b(n) = δB(t)

正しくは
　　b(n) = δB(nδ)
です。

> ますます微積分に似ている気がします。

って、似ていることを単に味わって楽しむだけでは物足りないからこその、ご質問ではなかったか？
　[5]で例示したように、微分方程式を「離散化」すると差分方程式が導かれる。また、差分方程式の極限操作で微分方程式が導かれる場合があり、たとえば定数係数の線型差分方程式
　　x[n+1] = Σ{k=0〜n} a[k]x[n-k] + b
は、式を整理すれば線型微分方程式の離散化、という格好にできる。（ただし、差分方程式がどれも「微分方程式の離散化」に当たるというわけではない。）
　両者にそういう関係があることが、「似ている」原因です。（積分は、単に「簡単な微分方程式では、解が積分で表されることがある」という事情でつながっているだけですから、そっちにこだわっていたら本質・全体像を見失う。）
　短い式で書ける微分方程式でも、非線形だと大抵は「解けたら奇跡」であり、たったひとつの方程式のために研究分野ができちゃうぐらいの内容を持つ。それと同様に、差分方程式でも猛烈に複雑なことが起こる。さらに、差分方程式ならではの面白い現象がたくさんある。たとえば解がしばしばカオスやフラクタルの構造を持つことは特徴的です。
　また、微分方程式のパラメータtを離散化すると共に関数の値x(t)の方も離散化してしまう「超離散化」ということができる。これもとても豊かな内容をもっています。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/21 13:00

漸化式を差分方程式を使って微分方程式の様に解いてみましたか゛

今回特性方程式の解を求めるのに未定係数法を使いましたが
z変換などでも求められるかもしれません　もっとわかれば
投稿したく一応筆をおきますね！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/21 12:55

差分の定義と不定和分から和分定数を求めることが一番わかりやすいのですが　同じことを差分方程式を使って考えると

a[n+1]=a[n]+1 .........(1)
a[1]=1　a[2]=1+1=2 ......(2)
(1)は隣接2項間差分方程式なので
a[n+2]=a[n+1]+1　.....(3)
ここで　(3)-(1) すれば
a[n+2]-2・a[n]+a[n]=0 と同次式にします。次に
この特性方程式　t^2 -2t+1=(t-1)^2 =0
から　t=1 という重解を得ます。そして
1^n という基本解の他に　n・1^n も解であることを実際に代入すると
これも解になることがわかるので　任意定数C1,C2 とおくと
一般解a[n]=C1・1^n +C2・n・1^n とおけるから(2)より
a[1]=C1・1^1+C2・1・1^1=C1+C2=1
a[2]=C1・1^2+C2・2・1^2=C1+2・C2=2
故に　C1=0 C2=1 より
a[n]=0・1^n + 1・n・1^n=n　......Ans　　同様に

a[n+1]=a[n]+n .........(4)
a[1]=1 ,a[2]=2 ,a[3]=4 ..............(5) を得て(4)から
a[n+2]=a[n+1]+(n+1) ........(6)
(6)-(4) より　同じようにもう1回繰り返すして同次式にすれば結局
a[n+3]-3a[n+2]+3a[n+1]-a[n]=0 から
この隣接3項間差分方程式の特性方程式
t^3 -3t^2 +3t -1=(t-1)^3 =0 から
t=1 という重解を得て上記と同じように確認しながら解を
1^n n・1^n n^2・1^n
となるから　C1 C2 C3 とおき　(5)から連立方程式を解けば
a[1]=C1+C2+C3=1
a[2]=C1+2・C2+4・C3=2
a[3]=C1+3・C2+9・C3=4
以上から　C1=1 C2= -1/2 C3=1/2 より
a[n]=C1・1^n+C2・n・1^n+C3・n^2・1^n=1-n/2 +n^2 /2
=(n^2 -n)/2 +1
=n(n-1)/2 +1 ..........Ans2
35年ぶりに数学科でもない私でもHPを見ながら解けました。こちらこそ
楽しめたので有難う！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/20 22:48

https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-sabun1
うさぎ　さんの差分方程式は漸化式です。わかりやすくするために
a[n+1]=f(n+1)
a[n] =f(n) としますと　上は
f(n+1)=f(n)+1 .......(1)
f(1)=1
(1)より
f(n+1)-f(n)=1
これは　差分の定義より　f(n+1)-f(n)=⊿f(n) とおけば
⊿f(n)=1=n^【0】とおけるので
両辺を和分すれば
⌠⊿f(n)=⌠1⊿n=⌠n^【0】⊿n=n^【1】+C=n +C
よって　和分定数C=f(n)-n=f(1)-1=1-1=0
従って　f(n)=a[n] =n となります。 次に下は

f(n+1)=f(n)+n .......(2)
これも差分の定義から
⊿f(n)=n=n^【1】 ...............先ほどは【】の中が　0　でした！
両辺を和分すれば
⌠⊿f(n)=⌠n⊿n=⌠n^【1】⊿n=n^【2】/(1+1) +C=n(n-1)/2 +C
同様に　Cは和分定数とすれば
C=f(n)-n(n-1)/2=f(1)-0=f(1)=1
従って　f(n)=a[n] =n(n-1)/2 +1

差分・和分・差分方程式を勉強すればわかります！
差分の定義は　平均変化率の
{f(b)-F(a)}/(b-a)={f(a+h)-F(a)}/h において　h=1
とおいたものを　⊿f(x)=f(x+1)-f(x) と定義して　整数のみの不連続関数
である。
和分とは差分の逆関数であり微積分と似ている所もあるが
例えば　部分和分のように1ヶ所異なる所がある。
貴方の疑問のように共通な所と異なる所があり　きちんと理解しないと
微積分と混同するので注意してください！

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/20 22:11

[1] 「（未知の）数列xの連続したs+1項の関係式

　　f(x[n], x[n+1], …, x[n+s], n) = 0
が任意の自然数nについて成り立つ」というものを「差分方程式」と呼びます。ここで、「nとx[n], x[n+1], …, x[n+s-1]の値を指定しても、x[n+s]が一意的に決まるとは限らない」ということに注意が必要。

[2] 差分方程式のうちで、特に
　　x[n+s] = g(x[n], x[n+1], …, x[n+s-1], n)
と書けるもの、すなわち、「nとx[n], x[n+1], …, x[n+s-1]の値を決めるとx[n+s]が一意的に決まるような差分方程式」を「漸化式」というんです。

[3] 特に
　　x[n+1] = a(n) x[n] + b(n)　　（a, bは既知の関数）
という形の差分方程式を「１階線形差分方程式」と呼ぶ。

[4] その中でも特に
　　x[n+1] = x[n] + b(n)　　（bは既知の関数）
である場合、
　　x[n] = x[0] + Σ{k=0〜n-1}b(k)
である。
　これが「積分に似ている」とおっしゃっていることなのだろうけれど、元はといえば、
　　b(n) = δB(t)
　　x[n] = X(nδ)
とすると、δ→+0の極限で
　　x[n+1] = x[n] + b(n)
は微分方程式
　　dX(t)/dt = B(t)
になるということからの帰結です。
　逆に微分方程式から出発し、δを小さな正の値として差分方程式に書き換えることを、「微分方程式の離散化」と呼ぶ。これは「微分方程式を数値的に解く」ということに使われます。
　線形微分方程式と線形差分方程式は（離散化で繋がっているだけに）相似する性質がある。たとえば解の重ね合わせができること、「特性方程式」というものが派生すること、など。

[5]１階線形差分方程式のうち特に
　　x[n+1] = a(n) x[n] 　　（aは既知の関数）
という格好をしている場合には、
　　x[n] = x[0]Π{k=0～n-1}a(k)
となる。これを「積分に似ている」とおっしゃるかどうか。(xが正だとは限らないので、単に
　　log(x[n]) = log(x[0]) + Σ{k=0～n-1}log(a(k))
とやるわけにはいかない。)

[6[ あるいは
　　x[n+1] = a x[n] + b
の場合だと、
　　x[n] = x[0](a^n) + bΣ{k=0～n-1}(a^k)
となる。「積分に似ている」と思うかなあ？


…というわけで、「線形漸化式」だけじゃなく、「差分方程式」「線形微分方程式」「微分方程式の（数値解法における）離散化」などについても勉強なさってみると、深く理解できるかもです。

この回答へのお礼

差分方程式っていうんですね、初めて知りました。

勉強になりました。ありがとうございます。

[6]については、a>0の場合だとlog_aとれば、n次になるじゃないですか。

ますます微積分に似ている気がします。

お礼日時：2023/07/21 06:41