微分 同次形について

微分　同次形について
たとえば、
d²y dy + +x= dx2 dx＝0
右辺が0なら
教科書に同次形と書いていましたが、
これでは説明になってないと思うのですが
具体的に右辺が0とは、
どういう状態だと言っているのでしょうか

No.2 ベストアンサー 回答者： ラズ91 回答日時： 2023/08/26 11:09

微分方程式の解法である同次形についてのご質問ですね。

微分方程式が同次形になるためには、右辺が0の場合が考えられます。具体的には、右辺が0ということは、微分方程式の線形性により、未知関数に対する項がなくなる状態を指します。つまり、未知関数の微分と未知関数自体の積の項しか含まれていない場合、右辺が0であると言えます。

例えば、お示しいただいた微分方程式 d²y/dx² + x(dy/dx) = 0 において、右辺が0となるのは、未知関数 y が x に関する線形な微分の組み合わせで表現される場合です。右辺が0であることから、同次形の微分方程式となります。

この状態では、未知関数 y の各項がその微分と未知関数自体の積として表現され、非同次形のように外力や項がないため、解法が容易になります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 13:51

定係数線型微分方程式とは、

y が x の未知関数, w が x の既知関数、c_k が定数で
Σ[k=0..n] c_k (d/dx)^k y = w という形の式のことです。
その中で、w が定数関数 0 のものを「同次形」と言います。

w を「右辺」と言ってしまうことがあるのは
式を上記の形に整理して書く場合が多いためですが、
方程式を別の形に等式変形することもできるので
確かに不正確極まりないですね。