f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開に関して質問が2つあります。 ①, |z+1l>2の時のa

f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開に関して質問が2つあります。


①,
|z+1l>2の時のa(n)の式を導くまでを画像の様にnの場合わけやzの場合わけを使って画像のように説明してほしいです。


②,
①に関しては、範囲|z+1l>2よりz=-1を中心とした時のローラン展開ですが、載せた画像は範囲0<|z-1l<2よりz=1を中心とした時のローラン展開であります。
ただ、なぜ範囲|z+1l>2(あるいは、0<|z+1l<2)とした時は中心をz=-1としか置けないのかわからないため、理由を教えて頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp様、どうか|z+1l>2の時のa(n)の式を導くまでを質問に載せた画像の様に、いつも説明して下さるようにnの場合わけやzの場合わけを考慮して画像のように説明して頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/09/02 13:53

• 画像のようにa(n)を定義しました。

  
    補足日時：2023/09/02 14:40

• ありがとうございます。
  では、|z+1| > 2 の場合、z=-1の時、
  a(n)の式を導くまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  
  また、バカ田大学様から頂いた資料の画像について、
  「a(n) の定義は
  f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n」の「f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n」を利用して赤い下線部の式のa(n)の式を導くまでを教えて頂けないでしょうか。
  
  (バカ田大学様からの画像の赤い下線部の式は|z+1| > 2 の場合、n≧-1の時、z=-1の時の式だと思います。
  というのも画像のローラン展開の式はn≧-1の時、特異点であり中心点のz=-1の時に分母が0になるためです。)

  
    補足日時：2023/09/03 23:26

• すいません。
  バカ田大学様から頂いた画像に関して、なぜz=1ではなく、z=-1なのでしょうか？

  
    補足日時：2023/09/05 23:27

• バカ田大学様から頂いた画像に関しての()の私の解説に誤りがありました。
  正しくは、
  (バカ田大学様からの画像の赤い下線部の式は|z+1| > 2 の場合、n≦-2の時、特異点z=1の時の式だとわかりました。
  
  なぜn≦-2の時かと言えば、
  n≦-2の時、z=1の時は|z+1|=rはr=2となり、
  内側r>2すなわち|z+1|>2の範囲にz=1としては含まれないため正則かと思ったが、近似としてz→1とすると不等式は成り立つため、画像のように|z+1|>2の場合でz=1の時は不等式に含まれるためz=1は正則でないため、a(n)の式が導きける。
  
  以上よりn≦-2の時とわかりました。)

  
    補足日時：2023/09/06 00:01

No.13 ベストアンサー 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/09/06 06:49

> 正しくは、

> (バカ田大学様からの画像の赤い下線部の式は|z+1| > 2 の場合、
> n≦-2の時、特異点z=1の時の式だとわかりました。
> なぜn≦-2の時かと言えば、
> n≦-2の時、z=1の時は|z+1|=rはr=2となり、
> 内側r>2すなわち|z+1|>2の範囲にz=1としては含まれないため正則か
> と思ったが、近似としてz→1とすると不等式は成り立つため、画像のよ
> うに|z+1|>2の場合でz=1の時は不等式に含まれるためz=1は正則でない
> ため、a(n)の式が導きける。以上よりn≦-2の時とわかりました。)

　質問者は、おそらく２年以上前から、ローラン展開に関する同じ質問を繰り返しているようだが「特異点」とか「正則」の意味を全く理解していないだけでなく、Σの計算規則すら知らないらしい。
　多数の善良な人間の目にするような公共の掲示板で、このようなデタラメを、こんなにも堂々と投稿してはいけないwwwwwwwwwwww
　お笑いネタなら
　　https://oshiete.goo.ne.jp/articles/qa/2038/
に投稿するの普通らしいぞwwwwwwwwwwwwwww


　複素関数 f(z) = 1/(z^2-1) は２つの特異点 z = -1 と z = 1 を持つ。1/(z^2-1) を
　　特異点 z = -1
のまわりで展開するとき、
　　もう一方の特異点 z = 1
は |z+1| = 2 の円周上にある。円周上の点はローラン展開の対象外だから |z+1| = 2 を境界として場合分けする。
　z = -1、|z+1| > 2 という条件でローラン展開すると

　　1/(z^2-1)
　= 2^0/(z+1)^2 + 2^1/(z+1)^3 + 2^2/(z+1)^4 + 2^3/(z+1)^5 + …… (※)

　この(※)を「∑を使って表現する」とき、各展開項

　　2^0/(z+1)^2,　2^1/(z+1)^3,　2^2/(z+1)^4,　2^3/(z+1)^5,　……

に割り振る番号 n を展開項の分子の指数（0から始まる）に合わせれば、「赤い下線部の式」

　　1/(z^2-1) = ∑[n=0→∞]2^n/(z+1)^(n+2)　　　(1)
　　∴a(n) = 2^n

であるが、(z+1) の累乗になっている展開項の分母の指数（2から始まる）に合わせれば

　　1/(z^2-1) = ∑[n=2→∞]2^(n-2)/(z+1)^n　　　(2)
　　∴a(n) = 2^(n-2)

　しかし、n は(※)をきちんと表現できればなんでもいいのだから、たとえば

　　1/(z^2-1) = ∑[n=777→∞]2^(n-777)/(z+1)^(779-n)　　　(3)
　　∴a(n) = 2^(n-777)

でもいっこうにかまわない。(1)(2)(3)のどれを使っても(※)のように展開される。つまり、n はローラン展開を∑で表すとき、各展開項に割り振る番号に過ぎないのだから、n の場合分けなどまったく無意味である。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/09/07 16:57

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 22:14

＞ a(n) の定義は f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n なので、

＞ f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n から
＞ |z+1|>2 の場合での a(n) の式を導くまでを教えてください。

z = -1 を囲む閉路 Γ 上で積分すればよい。
a(n) = (1/(2πi)) ∮[z∈Γ] (z+1)^(n-1) f(z) dz.
場合分けは要らない。

No.11 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/09/02 21:26

> a(n)=の式で表してって言われたので3つの式を提示しました。

　漫才でもやりたいのか、君はwwwwwwwwwwwwwwwwwww

　1/(z^2-1) をローラン展開するときに、
> 画像のようにa(n)を定義しました。
の画像にあるような方法ではやらない。メンドーだからだ。したがってその回答者はとても親切である。
　その図は下のやり取りにあるように
　　z = 1 でローラン展開　　0<|z-1|<2の
場合だが、最後の結論を見たら
　　n = -1→∞ ⇒ a(n) = (-1)^(n+1)*(z-1)^n/2^(n+2)
となっている。しかし n の範囲はいろいろ動かせるので

　　n = 0→∞ ⇒ a(n) = (-1)^n*(z-1)^(n-1)/2^(n+1)
　　n = 1→∞ ⇒ a(n) = (-1)^(n-1)*(z-1)^(n-2)/2^n
　　n = 777→∞ ⇒ a(n) = (-1)^(n-777)*(z-1)^(n-778)/2^(n-776)

でもいい。そのときは
　　n≧1、n≦2
という場合分けは意味がなくなるのだ。

　
　君の知りたいのは
　　z = -1 で展開　　|z+1| > 2 の場合
のようだから、ムダを承知でごく普通の解法を
https://imepic.jp/20230902/757740
に貼っておく。
　ま、無理してわからんでいいよwwwwww
　そもそも複素積分のことをまったくわかっていないんだからwwwwwwwwww

この回答へのお礼

えと、z = -1 で展開　　|z+1| > 2 の場合で、　n≧1、n≦2
という場合分けは存在しない、、、と？

お礼日時：2023/09/02 21:28

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 21:08

＞ a(n)=の式で表してって言われたので3つの式を提示しました。

それを言ったのは貴方です。
私は「定義を示せ」と書きました。
そのふたつの違いは判るんですか？

この回答へのお礼

わかりました。

では、
a(n) の定義は
f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n なので、

f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n からmtrajcp様のように|z+1|>2 の場合でのn≧-1の時とn≦-2の時のa(n)の式を導くまでを教えてください。

お礼日時：2023/09/02 21:13

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 20:58

＞ ちなみに、a(n)の式は

＞ ...
＞ の3つでございます。

あれれーおかしいぞー(棒読み)
a(n) の定義は
f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n じゃあないの？

この回答へのお礼

え！？

a(n) の定義は
f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n ですが、

a(n)=の式で表してって言われたので3つの式を提示しました。

お礼日時：2023/09/02 21:02

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 20:12

＞ z=1の時、f(z) = Σ[n=-1→+∞] a(n) (z-1)^nは分母が0になるため

そういうことじゃあない。
テイラー展開にだって、中心はある。
べき級数展開 Σ a(n) (z-c)^n の中心は z=c.
式の字面の形式で決まり、
言葉の意味がそう決めてあるってだけの話だ。

この回答へのお礼

そうなのですね。
勘違いしてすいません。

ちなみに、a(n)の式は

res(f(z)/(z-a)^(n+1),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n f(z)/(z-a)^(n+1)
(※g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1))
と
res(g(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
と
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
の3つでございます。

過去にmtrajcp様から頂いた式でございます。

お礼日時：2023/09/02 20:14

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 20:02

＞ なぜz=1を中心で展開したことになるのでしょうか？

テイラー展開、ローラン展開の「中心」とは何か、
多少は本とか読んで調べてから聞かないとね。
論外。

この回答へのお礼

あ、なるほど、
z=1の時、f(z) = Σ[n=-1→+∞] a(n) (z-1)^nは分母が0になるため、
ローラン展開f(z) = Σ[n=-1→+∞] a(n) (z-1)^nは分母が0になる点で展開する近似式であるため、z=1が中心で展開したことになるのですね。

ありがとうございます。

お礼日時：2023/09/02 20:06

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 19:50

←補足(09/02 14:40)

画像のように f(z) = Σ[n=-1→+∞] a(n) (z-1)^n で a(n) を定義したのなら
z = -1 中心ではなく z = 1 中心で展開したことになるのだが。
その式で定義したら、そもそも n ≦ -2 の a(n) なんて存在しないし。
何がしたいの？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> 画像のように f(z) = Σ[n=-1→+∞] a(n) (z-1)^n で a(n) を定義したのなら
z = -1 中心ではなく z = 1 中心で展開したことになるのだが。

なぜz=1を中心で展開したことになるのでしょうか？

どうか教えて頂きたいです。

お礼日時：2023/09/02 19:57

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 14:54

a(n) が f(x) のローラン展開の係数だってんなら、

No.1 ① に示した。あれを見ても
a(n) = ... の形に書いてくれなきゃわからん
ってことだったら、もう数学はやめたほうがいいかと思う。

この回答へのお礼

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}です。

お礼日時：2023/09/02 19:59

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/02 14:11

←No.3 補足

だから、a(n) を定義してから言えって...