f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開に関して質問が2つあります。 ①, |z+1l>2の時のa

f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開に関して質問が2つあります。


①,
|z+1l>2の時のa(n)の式を導くまでを画像の様にnの場合わけやzの場合わけを使って画像のように説明してほしいです。


②,
①に関しては、範囲|z+1l>2よりz=-1を中心とした時のローラン展開ですが、載せた画像は範囲0<|z-1l<2よりz=1を中心とした時のローラン展開であります。
ただ、なぜ範囲|z+1l>2(あるいは、0<|z+1l<2)とした時は中心をz=-1としか置けないのかわからないため、理由を教えて頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp様、どうか|z+1l>2の時のa(n)の式を導くまでを質問に載せた画像の様に、いつも説明して下さるようにnの場合わけやzの場合わけを考慮して画像のように説明して頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/09/02 13:53

• 画像のようにa(n)を定義しました。

  
    補足日時：2023/09/02 14:40

• ありがとうございます。
  では、|z+1| > 2 の場合、z=-1の時、
  a(n)の式を導くまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  
  また、バカ田大学様から頂いた資料の画像について、
  「a(n) の定義は
  f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n」の「f(z) = Σ[n=-∞→+∞] a(n) (z+1)^n」を利用して赤い下線部の式のa(n)の式を導くまでを教えて頂けないでしょうか。
  
  (バカ田大学様からの画像の赤い下線部の式は|z+1| > 2 の場合、n≧-1の時、z=-1の時の式だと思います。
  というのも画像のローラン展開の式はn≧-1の時、特異点であり中心点のz=-1の時に分母が0になるためです。)

  
    補足日時：2023/09/03 23:26

• すいません。
  バカ田大学様から頂いた画像に関して、なぜz=1ではなく、z=-1なのでしょうか？

  
    補足日時：2023/09/05 23:27

• バカ田大学様から頂いた画像に関しての()の私の解説に誤りがありました。
  正しくは、
  (バカ田大学様からの画像の赤い下線部の式は|z+1| > 2 の場合、n≦-2の時、特異点z=1の時の式だとわかりました。
  
  なぜn≦-2の時かと言えば、
  n≦-2の時、z=1の時は|z+1|=rはr=2となり、
  内側r>2すなわち|z+1|>2の範囲にz=1としては含まれないため正則かと思ったが、近似としてz→1とすると不等式は成り立つため、画像のように|z+1|>2の場合でz=1の時は不等式に含まれるためz=1は正則でないため、a(n)の式が導きける。
  
  以上よりn≦-2の時とわかりました。)

  
    補足日時：2023/09/06 00:01

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/01 22:55

＞ (-1/2)(z-(-1))^-1 + Σ[k=0→∞]{(-1/4)/2^k}(z-(-1))^k の式は

＞ 0<|z+1l<2 の時の n≦-2 の場合の展開だと思うのですが、

その n って何や？
君の話が毎度混乱するのは、そういうとこだと思うよ。

＞ 私は |z+1l>2 の時の n≧-1 の場合と n≦-2 の場合の a(n) の式を
＞ 導くまでの計算過程が知りたいのです。

n が何なのかも a(n) が何なのかも定義せずに何言ってんだか...
質問になってないことを自覚できてないの？

この回答へのお礼

>> その n って何や？

n≧-1の場合やn≦-2の場合によりa(n)の式が異なるためです。

お礼日時：2023/09/02 13:49

No.2 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/09/01 22:04

f(z) = 1/(z^2-1)の特異点周りのローラン展開は次の4つしかない。

(1)　z = 1 で展開　　0 < |z-1| < 2 の場合
(2)　z = 1 で展開　　|z-1| > 2 の場合
(3)　z = -1 で展開　0 < |z+1| < 2 の場合
(4)　z = -1 で展開　|z+1| > 2 の場合

　なお
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13554625.html
で（他にもあったがｗｗｗｗｗ）

> f(z)=1/(z^2-1)の|z+1|>2の時かつn≧-1の時あるいはn≦-2の
> 時の場合わけを教えて下さい。

という戯けた質問があったが、上記の(4)は

　　∑[n=0→∞]2^n/(z+1)^(n+2)

とするのが普通だろうが、

　　∑[n=-777→∞]2^(n+777)/(z+1)^(779+n)

　　∑[n=777→∞]2^(n-777)/(z+1)^(779-n)

としても一向に差し支えないのだから、n の場合分けなど無用であるwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かにzやnの値によってはa(n)が0になるため、ローラン展開の式がない場合はあります。

ですが、それでも|z+1l>2の時のn≧-1の場合とn≦-2の場合でのa(n)の式を導くまでの過程が知りたいです。

仮に無理ならば、
「(4)　z = -1 で展開　|z+1| > 2 の場合」より、n≧-1の場合あるいはn≦-2の場合でのz=-1の時のa(n)の式を求めるまでを導くまでを教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/09/01 22:19

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/01 20:13

①

a(n) って何じゃ？ 定義もせずに何言っとるやら。

1/(z^2-1) を z=-1 中心にローラン展開するなら、
1/(z^2-1) = (-1/2){ 1/(1+z) + 1/(1-z) }
　　　　　= (-1/2)/(z+1) + (-1/4)/(1-(z+1)/2)
　　　　　= (-1/2)(z-(-1))^-1 + Σ[k=0→∞](-1/4)((z-(-1))/2)^k
　　　　　= (-1/2)(z-(-1))^-1 + Σ[k=0→∞]{(-1/4)/2^k}(z-(-1))^k.
②
ローラン展開というか、両側べき級数の収束域は
展開中心を中心とする同心円環内であることが判っている。
0<|z+1l<2 を複素平面上に図示してみれば、
展開中心は z=-1 であることが解るだろう。 Why not?

この回答へのお礼

ありがとうございます。
頂いた(-1/2)(z-(-1))^-1 + Σ[k=0→∞]{(-1/4)/2^k}(z-(-1))^k.の式は0<|z+1l<2の時のn≦-2の場合の展開だと思うのですが、私は|z+1l>2の時のn≧-1の場合とn≦-2の場合のa(n)の式を導くまでの計算過程が知りたいのです。
mtrajcp様が以前よく書いてくださった時のように。

お礼日時：2023/09/01 21:33