数学の三角比の問題で質問があります。

sin80°+cos110°+sin160°+cos170°の値を求めよという問題があります。
解答はcos(90°+20°)としてあるのですが、なぜcos(180°-70°)としてはいけないのですが？
そのあとsin160°と相殺できなくなるためですか？

No.5 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2023/09/29 10:46

単位円上で角度を表す点を打ちます。

sinに統一するならsinは0°または180°からの差、cosは90°または270°からの差に着目して方針を立てます。符号の変化も注意します。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/28 15:25

cos(110°)=cos(180°-70°)=-cos(70°)

sin(160°)=sin(90°+70°)=cos(70°)

sin(80°)+cos(110°)+sin(160°)+cos(170°)
=sin(90°-10°)+cos(180°-70°)+sin(90°+70°)+cos(180°-10°)
=cos(10°)-cos(70°)+cos(70°)-cos(10°)
=0

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/27 21:22

＞なぜcos(180°-70°)としてはいけないのですが？

「cos(90°+20°) でなければ ならない」とは書いてありませんよね。
どちらも cos110° で 同じですよね。
数学で 殆どの問題の 計算のやり方は 1通りだけではありません。
sin160° も sin(90°+70°) でも sin(180°-20°) でも どちらでもよいです。
どちらでも 統一したやり方なら 相殺できます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/27 19:48

＞解答はcos(90°+20°)としてあるのですが、なぜcos(180°-70°)としてはいけないのですが？

よい、悪いの話ではなく、どのか角度にそろえていくかだけの問題でしょう。

面倒なので「°」は省略します。

sin(80) = sin(90 - 10) = cos(10)
cos(110) = cos(90 + 20) = -sin(20)
sin(160) = sin(180 - 20) = sin(20)
cos(170) = cos(180 - 10) = -cos(10)

のセットにしてもよいし（10° と 20° にそろえる）

sin(80)
cos(110) = cos(180 - 70) = -cos(70)
sin(160) = sin(90 - 70) = cos(70)
cos(170) = cos(90 + 80) = -sin(80)

のセットにしてもよいです（70° と 80° にそろえる）。

いずれにせよ「角度をそろえる」という手段に持ち込むだけの話です。
質問者さんは後者のやり方でやりたいのでしょうが、それでも全く問題はありません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/27 19:46

cos(90°+20°) = cos110° = cos(180°-70°) です。

区別はありません。