線形代数 行列の定義と行列の演算

sin ϕ・ cos ψ 　cos ϕ・ cos ψ 　　− sin ψ
sin ϕ・sin ψ　 cos ϕ・ sin ψ　　　cos ψ
cos ϕ 　　　　 − sin ϕ 　　　　　　0

が直交行列となる ϕ ,ψ ∈ R を求めよ.
この問題をどうやって求めればいいのかわかりません。
答えは任意の ϕ、ψです
よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/11 11:37

>列（あるいは行）ベクトル同士の直交性だけ確認すればいいから

確かに。定義は

R^TR=E
RR^T=E
なんだけど、R^(-1)=R^T のとき、逆行列と元の行列の積は可換なので
片方が成り立てばもう片方も成り立つ。
直交性も大きさも行か列のどちらかで確認すればOk

因みに直交行列は合同変換なので、回転か鏡像かその組み合わせに必ずなる。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/10 23:12

軸まわりの回転の積をシコシコ計算した経験があれば、「各成分、なんか見たことあるぞ。

さてはこりゃ、ある軸まわりの回転を、さらに別の軸まわりに回転したんだろうな」とは思いついても
cosψ　0　-sinψ
sinψ　0　cosψ
0　　　1　　0
を左から
sinϕ　cosϕ　0
cosϕ　-sinϕ　0
0　　　0　　1
に掛け算したんだなとズバリ見抜ぬくのはちょっとしんどいかな。でも、「ともあれ回転は正規直交変換なんで、もしこれが本当に回転を回転したものなら、ϕ、ψによらずいつでも正規直交の筈だよな」とカンを働かせることはできる。そしたらカンが当たってるかどうか、確認してみる気になるわけで、列（あるいは行）ベクトル同士の直交性だけ確認すればいいから、3通り。たいした手間じゃない。（で、ダメだったらカンが外れたということで考え直す。）

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/10 05:12

行ベクトル同士が直交している

列ペクトル同士が直交している。
全ての行ベクトル、列ベクトルの大きさが1

面倒だが、個々の確認は簡単。
ひとつひとつ全て確認するしかない。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/12/10 00:18

定義に従って計算すればよい.