∮{cos(x/2)+sin(x/2)}dx =2sin(x/2)-2cos(x/2)+C =2√2

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質問者：教えてよー
質問日時：2023/10/05 01:49
回答数：3件

∮{cos(x/2)+sin(x/2)}dx
=2sin(x/2)-2cos(x/2)+C
=2√2{sin(x/2)sin(π/4)-cos(x/2)cos(π/4)+C
=-2√2cos(x/2 + π/4)+C

この式の2行目から3行目への式の変換はどうやってしたらいいんですか？教えてほしいです。

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回答 (3件)

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No.2ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/10/05 09:12

いわゆる「三角関数の合成」。

2 sin(x/2) - 2 cos(x/2) = r cos(x/2 + α) となる r, α を見つけるために、
右辺を加法定理で展開して r cos(x/2 + α) = (r cosα)cos(x/2) - (r sinα)sin(x/2).
両辺を係数比較すると、 r cosα = -2, r sinα = -2.
r^2 = (r cosα)^2 + (r sinα)^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 8 から
r = -2√2 を採用すると、 cosα = 1/√2, sinα = 1/√2 となるので、
単位円の絵を書いて考えると α = π/4 が見つかる。