数学得意な方、お願いします。 これの一般項って求められますかね？周りの友達とかに聞いたんですけどみん

数学得意な方、お願いします。
これの一般項って求められますかね？周りの友達とかに聞いたんですけどみんな挫折したので。

ちなみにaは自然数で、どこかでa(n)=0となる部分があるのでそこがnの上限とします。それ以上行くと定義できなくなるので。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/08 13:29

自然数を位取り記法で表さなきゃならんという訳ではないんで、別の表現をしたって構わない。

そこで0でない自然数aを
　　a = Σ{k=1～m} (2^A[k)] ただし、A[k]は0を含む自然数で0≦A[k]<A[k+1]
となる、長さmの有限列A[k](k=1〜m}で表現する。この表現は一意的で、だから
　　A = F(a)
となる関数Fが決まる。Fは「aを二進法で表したときに、"1"になるのは何桁目か」を、下の桁から順に並べたものに他ならない。言うまでもなく、表現Aから自然数aを得る関数Gは
　　a = G(A) = Σ{k=1～m} (2^A[k)]
ですね。

　すると、もし10進表記による列"427"を自然数だと認めるのなら、列Aも自然数だと認める、ということです。

　一方、列Aの先頭からr個の要素を取り出して列を作る関数
　　B = H(r,A)
を考える。ただしBは長さrの有限列で
　　B[k] = A[k] (1≦k≦r)
だとする。
　これらを使って、ご質問の一般項(0≦n＜m)は
　　a[n] = G(H(m-n,F(a)))

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。難解で私の頭じゃ到底追いつけませんでした。

お礼日時：2023/10/08 15:26

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/10 07:23

No.2訂正

>>　Fは「aを二進法で表したときに、"1"になるのは何桁目か」を、下の桁から順に並べたものに他ならない。

正しくは

Fは「aを二進法で表したときに、"1"になるのは何桁目か」を、下の桁から順に並べた列を作る操作に他ならない。なお、「何桁目」というのは、一番下の桁を0桁目、と数えます。

例えば、aが2進数表記で"1101"であれば、F(a) = {0,2,3}であり、
　　a = G(F(a)) = 2^0 + 2^2 + 2^3
です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/08 12:13

前回質問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13618246.html
の改変かな？

各 a(n) を 2進数で表記して考えると、
2^[ log_2 a(n) ] が a(n) の 2進最上位を取り出す計算であることから、
a(k) は a の 2進表記で桁の値が 1 になる桁を上位から順に取り出す計算になります。
一般項 a(n) を a と n の代数式で表記するのは難しいんじゃないかと思うけれど、
上記の日本語で内容を把握するのは簡単でしょう。

この回答へのお礼

そうですね〜。前回の質問はちょっとこんがらがっちゃったので改めて質問した感じです。
実は無知ながらもコラッツ予想を考えていまして、この漸化式の一般項が分かれば証明に500歩くらい近づくんですけどね。先駆者はいるでしょうけどね。

お礼日時：2023/10/08 12:32