n^3+2n+1 が3で割ると1余るとこを証明せよ。(nは自然数である)
(ここから)
n^3+2nが3で割り切れることを証明する。
n(n^2+2)
★(1)n=3a , (2) n=3a-1 , (3)n=3a-2とおく。(a≧1)
で計算するとどちらかが3を因数に含む(式は省略)
よって与式は3で割ると1余る。
とやってみたのですが、
★の部分設定して、証明することで、自然数nについて証明したことになりますか?
(MODやってるのと同じになってるような気もしますが
回答は
n(n+1)(n-1)+3n+1で必ず1余る
なのですが、この因数分解気づかなかったので・・・。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
★(1)n=3a , (2) n=3a-1 , (3)n=3a-2とおく。
(a≧1)でいいと思いますが (1)は3の倍数ですし (2),(3)は
n=3a±1 でいいと思うのですが!(n>=1)
n^3+2n+1=(3a±1)^3 +2(3a±1) +1
=27a^3 ±27a^2 +9a ±1 +6a ±2 +1
=3の倍数±3 +1 Ξ 1 (mod 3)
でいいと思います。
連続する3整数は3の倍数 n(n+1)(n-1)もよくでてくるので覚えておきましょう!3次式なら特に!
回答はbest solution ですが 貴方のは基本的な解き方なのでいいと思います
回答ありがとうございます。
MODは非常に便利ですが、MOD使わないで証明するぞブームなので。
この証明も考え方はMODですよね・・・。
No.5
- 回答日時:
それでいい。
★の場合分けは、n が全ての自然数を網羅している。つい (1)n=3a, (2)n=3a+1, (3)n=3a+2 (aは非負整数) と
やりたくなるところで、n=0 でも余り 1 だからそれでもかまわないが、
阿呆な教員に間違った難癖つけられないためには★の方法がいい。
内容的にはMODやってるのと全く同じことだから
「あえてMODは使わない」は無意味なこだわりだが、
学校とかだと「教えてないこと使ったら減点」という採点もあるからね。
安全策としてはありえると思う。
No.4
- 回答日時:
>(2) n=3a-1 , (3)n=3a-2とおく
この場合は n=3a, n=3a±1 とした方が 後の計算が楽ですよ。
(3a±1)²=9a²±6a+1 。
>MODやってるのと同じになってるような気もしますが
当然です 同じ事象の証明ですから。
No.1
- 回答日時:
n^3+2n+1=n(n^2+2)+1
n=3aのとき
n(n^2+2)+1
=3a(n^2+2)+1
n=3a-1のとき
n(n^2+2)+1
=n((3a-1)^2+2)+1
=n(9a^2-6a+3)+1
=3n(3a^2-2a+1)+1
n=3a-2のとき
n(n^2+2)+1
=n((3a-2)^2+2)+1
=n(9a^2-12a+6)+1
=3n(3a^2-4a+2)+1
であってます
n^3+2n+1=n(n+1)(n-1)+3n+1
n=3aのとき
n(n+1)(n-1)+3n+1
=3a(n+1)(n-1)+3n+1
=3{a(n+1)(n-1)+n}+1
n=3a-1のとき
n(n+1)(n-1)+3n+1
=n(3a)(n-1)+3n+1
=3n{a(n-1)+1}+1
n=3a-2のとき
n(n+1)(n-1)+3n+1
=n(n+1)(3a-3)+3n+1
=3n{(n+1)(a-1)+1}+1
でもよい
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