統計的検定法について

統計を学び始めたばかりの素人です。
以下の問いで腑に落ちない部分があり解説をお願いしたいです。

あるハンバーガー点の1日の売り上げは15万円で、売り上げを伸ばすため新メニューを開発して販売した。販売2ヶ月間のうちから無作為に20日を選んだら、平均売り上げは16万円で、普遍標準偏差値はU＝1.8万円であった。
この時、新メニューの効果はあったと言えるか。
売り上げは正規分布に従うとし、有意水準5%と1%で検定せよ。

これについて、
対立仮説H1:μ＞15
帰無仮説H0:μ＝15

統計量として、n＝20、μ＝15、x（標本平均）＝16、U＝1.8

有意水準5%（上側）→1.645
有意水準1%（上側）→2.326（2.32〜2.33の間）

とし、

実現値はおよそ2.485と計算できたため、5%と1%どちらについても帰無仮説は棄却されるかと考えたのですが、1%の方は棄却されない（新メニューの効果はあったとは言えない）が正解でした。

有意水準2.326から上に実現値があるのだから1%の場合でも帰無仮説は棄却されるのではないのでしょうか。この部分がどうにも腑に落ちません。

ご回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  普遍標準偏差とはテキストに書いてあった表現です。正直、分散などの意味もよくわかっていない状態で進めているためこの言葉の意味もよくわかりません。
  U＝√U＾2を普遍標準偏差と言うそうです。
  正規分布表を使うと言うのはテキストの指示です。
  t分布表を参照したところ、確かに腑に落ちる結果を得ることができました。
  ではこれは問題がイマイチと言うことなのでしょうか…？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/12 01:30

• 

  普遍は私の誤字です。申し訳ないです。
  皆元晃弥先生のスッキリわかる確率統計というテキストより質問させていただいています。
  通信教育で受講しており今後現職の実務に使えるんじゃないかと軽い気持ちでとったのですが正直意味不明でそれどころではないです。
  とにかく試験をパスしなければと言う一心ですので回答助かってます。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/12 15:14

• おっしゃる通りで、正直全く意味不明のまま回答の力を借りて読み進みている状態です。
  問題が悪いのなら取り敢えず計算方法が合っていれば良いので安心です。
  持ち込みOKで試験が行われるのでとりあえず公式にあてはめられる位の力が身につけば試験自体はどうにかなるはずなので当たっては砕けてという感じで演習に取り組んでいます。
  回答ありがとうございます。
  皆様の回答が頼りです。今後とも見かけられたら回答いただけると助かります。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/12 15:19

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/11 23:37

＞普遍標準偏差値はU＝1.8万円であった

「普遍標準偏差値」って何でしょうか？
「不偏分散」の平方根のことでしょうか？
ふつうは「不偏標準偏差」とは言わないと思いますが、そういう言い方をしていましたか？

どうやら「正規分布」を使っているようですが、サンプルサイズが「20」と小さいので、「ｔ分布」を使わなければいけません。
サンプルサイズが「20」なので「自由度19のｔ分布」を使います。

たとえば下記
↓
https://bellcurve.jp/statistics/course/8970.html

これを使うと「自由度19」なら
・5% 片側：1.729
・1% 片側：2.539
になります。

＞実現値はおよそ2.485と計算できた

ということは
・有意水準5% なら「有意」
・有意水準1% なら「有意ではない」
ということになります。

「ｔ分布」を勉強してください。
「サンプル数が少ないと精度が悪い」ことに気づいたギネス・ビールの社員であったゴセットさんが発見したものです。
↓
https://bellcurve.jp/statistics/course/8968.html

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/12 11:19

No.1 です。

「補足コメント」について。

＞ではこれは問題がイマイチと言うことなのでしょうか…？

kamiyasiro さんがおっしゃるように、イマイチというより致命的な問題かと思います。

ただでさえ分かりにくい統計学を、さらに混乱させているのが「いい加減なテキスト」なのだと思います。
「定義」や「概念」や「理由・根拠」といった基本があいまいのまま、小手先のテクニックやマニュアル的な問題解法だけを示したものも多く、「分かりにくい」ならまだしも、「誤解」あるいは「間違い」を誘発させるようなものも多いようです。

私も浅学者なので間違った理解や勘違いが多く、偉そうなことは言えませんが、勉強する過程でそういった苦労を数多く経験しました。
なので質問者さんのお気持ちはよく分かります。
せめて、このQ&Aの掲示板で、そういう苦労をしている方に少しでもアドバイスできればと思っています。
（自分で勉強・復習しながら回答を書いているような状況なので、いろいろな間違いや勘違いを kamiyasiro さんに訂正・補足いただいて助かっています。
#1 に誤って「サンプルサイズ」と書いてしまったものは正しくは「サンプル数」で、#4 で正しく訂正されていますね）

「不偏分散」というのは、初期段階で出てきて意味の分かりにくいものですが、「未知の母集団からいくつかのサンプルを採ってきたときに、そのサンプルのデータから母集団の分散を推定したもの」と考えればよいです。
それは数学的に証明できますが、たいていの場合証明の途中で挫折して「何だかわけの分からないもの」ということで「天下り的に暗記するだけ」になってしまうことが多いようです。

そういう「数学的な厳密さ」と、逆に「だから何なの？　何のためにあるの？」という「概念」の両方をバランスよく説明してもらえるテキストだといいんですけどね。
統計分布や検定手法についても、「一つ一つの厳密な説明」と、実地にあたって「どんなとき、どんな条件のときに、どんな統計分布・検定手法を使えばよいのか」という「全体の交通整理」も同様ですね。

質問者さんの一連の質問は、この「統計分布・検定手法の交通整理」に関するものと思います。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/12 02:23

＞ これは問題がイマイチと言うことなのでしょうか？

これはNo1さんへの補足コメントですが、No2の私も同じ思いです。
問題がイマイチではなく、著者の理解不足です。

テキストの著者名を教えて頂けませんか。

学校の先生の自作ですかね。
クレームを入れるべき案件ですよ。

標準偏差は不偏分散の平方根（ｎー１で割った分散）
標本標準偏差は標本分散の平方根（ｎで割った分散）
（※標本分散という語句はＪＩＳの改定で不偏分散を指すようになったので、注意が必要です）

不偏標準偏差に関しては、

https://biolab.sakura.ne.jp/unbiased-standard-de …

を読んでください。

しかも不偏ではなく「普遍」だなんて悪質です。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/11 23:54

サンプル数が少なくても、母分散が既知であればｕ検定を使用します。

蛇足ですが、平均値の差のｔ検定では、
・母集団と比較する
・２群を比較する
の２ケースがあり、後者はｔ検定であっても、ウェルチの検定という方法を使用しなければなりません。

古い教科書では、分散の違いのＦ検定を先にやって、棄却されなければ普通のｔ検定で良い、と書いてありましたが、検定の性質上「棄却されなければ分散は等しい」とは言えないので、最近は最初からウェルチの検定をやります。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/11 23:45

No2です。

表を読み間違えました。私は両側表を読んでいました。
No1さんが正しいです。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/11 23:42

平均値の差の検定、母分散未知、片側検定です。

母分散未知であるためｔ検定を用います。
平均値の標準偏差はσ／√ｎ＝1.8／√20＝0.4025

ｔo＝(16ー15)／0.4025＝2.485

検定統計量の閾値は正規分布表から得られたようですが、ｔ表から読み取る必要があります。

t(0.05，φ＝19)＝2.093
t(0.01，φ＝19)＝2.861

5%有意ですが、1%有意では無いようです。


ところで・・・

不偏分散の平方根は、不偏標準偏差とは言いません。（普遍ではありません）
一般にｎ数が小さい時は、不偏分散の平方根σは小さい側に偏ります。不偏ではありません。そのために、c4とかd2という不偏化補正係数があります。


不偏標準偏差は、ガンマ関数を用いた複雑な式になります。

不偏標準偏差なんて書いてあるテキストを用いるのは避けた方が宜しいかと思います。