確率の問題を解説していただきたいです。 a,b,c,d ４つの部屋があります。 外に出ると移動が終了

確率の問題を解説していただきたいです。

a,b,c,d ４つの部屋があります。
外に出ると移動が終了します。
aから外に出る確率は1/3(終了)、aからbに移る確率は1/3、aからcに移る確率は1/3
bからcに移る確率は1/3、bからaに移る確率は2/3
cからdに移る確率は2/3、cからaに移る確率は1/3
dから外に出る確率は1/3(終了)、dからbに移る確率は1/3、dからcに移る確率は1/3

となっています。
スタート地点はaであり、移動回数に制限はありません。
dから外に出る確率はいくつになりますでしょうか？

どうぞよろしくお願いいたします。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/20 22:25

みんな意地悪だから答え書いちゃってるけど, ここはあえて親切にいこう.

具体的にどこまでできていてどこでなにに困っているんだ?

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/20 13:43

３回目ですね。

前回の回答を清書しておきましょう。

n 回目の移動の後に部屋 a,b,c,d にいる確率を、
それぞれ A[n], B[n], C[n] D[n] と置きます。
与えられた条件は、
A[n+1] = (2/3)B[n] + (1/3)C[n],
B[n+1] = (1/3)A[n] + (1/3)D[n],
C[n+1] = (1/3)A[n] + (1/3)B[n] + (1/3)D[n],
D[n+1] = (2/3)C[n],
A[0] = 1, B[0] = C[0] = D[0] = 0 です。
求めたいものは、いつか d から外へ出る確率
p = Σ[k=0→∞] (1/3)D[k] ですね。

列ベクトル v[n] = (A[n], B[n], C[n], D[n])の転置,
行列 M =
　　0　　2/3　　1/3　　0
　　1/3　0　　　0　　　1/3
　　1/3　1/3　　0　　　1/3
　　0　　0　　　2/3　　0
と置くと、
v[n+1] = M v[n] より
v[n] = M^n v[0] です。
p = Σ[n=0→∞] (1/3)D[n]
　= Σ[n=0→∞] (0, 0, 0, 1/3) M^n v[0]
　= (0, 0, 0, 1/3) ( Σ[n=0→∞] M^n ) (1, 0, 0, 0)の転置
となります。

T = Σ[n=0→∞] M^n と置くと、
T = M^0 + Σ[n=1→∞] M^n
　= E + M Σ[n=1→∞] M^(n-1)
　= E + M T
なので
(E-M)T = E です。
T は E-M の逆行列と判ります。
よって、p = (0, 0, 0, 1/3) (E-M)の逆行列 (1, 0, 0, 0)の転置
となります。

掃き出し法でも使って (E-M)の逆行列を求めれば、
最後の式の p を計算することができます。
(E-M)の逆行列は
　　19/9　　17/9　　13/9　　10/9
　　1　　　　2　　　1　　　　1
　　4/3　　　5/3　　7/3　　　4/3
　　8/9　　　10/9　　14/9　　17/9
であり、
よって p = 8/27 です。

ありゃ、前回は計算ミスがありましたね。

No.2 回答者： めいでん 回答日時： 2023/11/19 22:52

8/81

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2023/11/19 22:50

＞移動回数に制限はありません。

ということですので解はありません。