数Ⅱ 式と証明 絶対値

「|a|-|b|<=|a-b|を証明せよ」
という問題で、両辺を二乗して左辺と右辺の差を作って証明していったのですが「|a|-|b|>0」が示せなくて困っています。
これ以外に条件はありません。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/13 13:13

ついでに解いてみました。

|a|-|b| > 0
として、a と b が異符号の場合
|a-b| = |a| + |b| ≧ |a| - |b|
a と b が同符号の場合
|a-b|=||a| - |b|| = |a| - |b| (|a| - |b|>0 を使った)

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/13 11:48

|a|-|b| ≦ 0 では、正しいのは明白だから(右辺は零か正だから)

後は
|a|-|b| > 0
の「場合で」正しいことを示せばいい。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/12 21:06

具体的に, それを示せなくてどう困るんだろうか.

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/12 19:57

a,bを実数とする

ab≦|a||b|
だから

|a-b|^2-(|a|-|b|)^2
=|a|^2+|b|^2-2ab-|a|^2+2|a||b|-|b|^2
=2(|a||b|-ab)
≧0

|a-b|^2-(|a|-|b|)^2≧0
(|a-b|+|a|-|b|)(|a-b|-|a|+|b|)≧0…(1)

|a|-|b|≦0のとき
|a|-|b|≦0≦|a-b|
∴
|a|-|b|≦|a-b|…(2)

|a|-|b|>0のとき
|b|-|a|<0≦|a-b|
|b|-|a|<|a-b|
0<|a-b|+|a|-|b|
↓これと(1)から
0≦|a-b|-|a|+|b|
↓両辺に|a|-|b|を加えると
|a|-|b|≦|a-b|
↓これと(2)から
∴
|a|-|b|≦|a-b|

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/12 19:00

＞「|a|-|b|>0」が示せなくて困っています。

当たり前です。
その不等式は 成り立ちませんから。
|(-3)-(-5)|>0 で、|-3|-|-5|<0 ですよね。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/12 18:25

|a|-|b|＞0とはかぎらないけど

|a-b|≧0なのだから|a|-|b|≦0ならば不等式はなりたつよね？

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/12 17:53

|a|-|b|>0

は示せません。明らかに。