波動方程式について。 微分可能な関数f,gを用いて、f(z-vt)、g(z+vt)を写真の波動方程式

波動方程式について。
微分可能な関数f,gを用いて、f(z-vt)、g(z+vt)を写真の波動方程式に代入して波動が進む速さvを求めたいのですが、どのように微分したらいいか教えてほしいです。

質問者からの補足コメント

• こうではないですよね。

  
    補足日時：2024/02/12 19:55

• すみません、ここは、∂Eではないのでしょうか、

  
    補足日時：2024/02/12 20:17

• なぜここのvは2乗になるのでしょうか。u=z-vtをtで2階微分したら0になると思ってしまったのですが、、

  
    補足日時：2024/02/12 20:40

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/12 20:00

E=f(z-vt)+g(z+vt)

u=z-vt, w=z+vt とおくと微分の連鎖律から
　E=f(u)+g(w)

　∂E/∂z=∂E/∂u・∂u/∂z+∂f/∂w・∂w/∂z
　　　　=df/du・1+dg/dw・1=f'+g' (f'=df/du, g'=dg/dw)
同様にして
　∂²E/∂z²=f''+g''・・・①
また
　∂E/∂t=∂E/∂u・∂u/∂t+∂f/∂w・∂w/∂t
　　　　=f'・(-v)+g'・v=(-f'+g')v
同様にして
　∂²E/∂t²=f''・(-v)²+g''・v²=(f''+g'')v²・・・・②

①②から
　∂²E/∂t²=(f''+g'')v²=v²∂²E/∂z²
したがって
　v=1/√(εμ)

この回答へのお礼

すみません、ありがとうございます！！

お礼日時：2024/02/12 20:01

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/13 05:56

訂正。

∂E/∂t=∂E/∂u・∂u/∂t+∂f/∂w・∂w/∂t=(-f'+g')v
→ ∂E/∂t=∂E/∂u・∂u/∂t+∂E/∂w・∂w/∂t=(-f'+g')v
でした。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/13 05:43

連鎖律

　∂E/∂t=∂E/∂u・∂u/∂t+∂f/∂w・∂w/∂t=(-f'+g')v
が理解できるとします。

　∂²E/∂t²=(∂/∂t)(∂E/∂t)
　　　=(∂/∂u)(∂E/∂t)・∂u/∂t+(∂/∂w)(∂E/∂t)・∂w/∂t
　　　=(∂/∂u)(∂E/∂t)・(-v)+(∂/∂w)(∂E/∂t)・v・・・①

ここで
　(∂/∂u)(∂E/∂t)=(∂/∂u)((-f'+g')v)
　　　　=v(∂/∂u)(-f'+g')・・・・・vは定数
　　　　=v{-(∂/∂u)f'+(∂/∂u)g'}
ここで、f'はuのみの関数だから (∂/∂u)f'=(d/du)f'=f''、
g'はwのみの関数だから (∂/∂u)g'=0 となって
　　　　=-vf''
同様に
　(∂/∂w)(∂E/∂t)=(∂/∂w)((-f'+g')v)
　　　　=v(∂/∂w)(-f'+g')=v{-(∂/∂w)f'+(∂/∂w)g'}
　　　　=v{0+(∂/∂w)g'}=vg''

これらを①にいれて
　∂²E/∂t²=-vf''・(-v)+vg''v=(f''+g'')v²

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/02/13 08:23