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No.10
- 回答日時:
「0を0 乗する」もいろいろな解釈がありえて, 例えば単純に
lim (x, y)→(0, 0) x^y
と見ると, 明確な値を与えることができない. 単純に
lim x→0 x^0 = 1,
lim y→0 0^y = 0
であることからも明らかだろう.
なお IEEE 60559 では「べき乗」だけで 3つの関数を用意していて, そのうち 2つでは「指数が整数の 0 なら底が (sNaN 以外の) なんであっても 1」である (つまり ∞^0 や qNaN^0 も 1 だ) のに対し, 1つだけは 0^0 を無効な操作としている.
No.9
- 回答日時:
非負実数
x≧0に対して
x=0のときa(n)=0,b(n)=1/n
0<x<1のときa(n)=x^n,b(n)=1/n
x=1のときa(n)=1/n,b(n)=0
x>1のときa(n)=1/x^n,b(n)=-1/n
と
数列{a(n)},{b(n)}を定義すると
lim_{n→∞}a(n)=0
lim_{n→∞}b(n)=0
x=0のときlim_{n→∞}a(n)^{b(n)}=lim_{n→∞}0^{1/n}=0
0<x<1のときlim_{n→∞}a(n)^{b(n)}=lim_{n→∞}(x^n)^(1/n)=x
x=1のときlim_{n→∞}a(n)^{b(n)}=lim_{n→∞}(1/n)^0=1
x>1のときlim_{n→∞}a(n)^{b(n)}=lim_{n→∞}(1/x^n)^(-1/n)=x
となるから
0^0=不定
No.8
- 回答日時:
>コンピュータプログラム的にも欲しい定義です
コンピュータ言語では C, R, Python, Julia、.NETの言語 は
1 を返しますね。
#多分調べればもっとあります。
浮動小数点演算の工業規格 IEEE754 も整数乗演算では
0^0 = 1 です。
意外と広く採用されてます。
No.7
- 回答日時:
存在しないと考えた方が,怪我をしないで済みます。
対数がとれませんからね。例えば x=2^0 は対数をとると ln x=0 つまり,x=1 と整合しますねぇ。ここらへんが工学的な仕事しかしない,数学の本質を知らない僕らの悪い癖だが。ところが x=0^0 の対数は ln x = 不能 ってわけだ。No.6
- 回答日時:
No.5です。
私の話って、前半では0^0は無し、と言いながら、後半ではあり、と言っていてスミマセン。
後半では、そうなっているとありがたいという話です。
なお、「拡張しないとする方が一般的」の理由は、元の式、n^k/n^kの時点で、n=0とすると、0^k=0で割ることになってしまい、元の式が成立しないからです。
No.5
- 回答日時:
よくある説明としては、
n^i/n^j=n^(iーj)
n^k/n^k=1(割り切れるため)
これは、n^(kーk)=n^0
そこで、○○の0乗は割り切れた状態だから1だと定義する、
というものです。
そして、nを0まで拡張するかどうかですが、これは拡張しないとする方が一般的です。
ところで・・・
0^0=1は、テーラー展開的に欲しいという話がでましたが、コンピュータプログラム的にも欲しい定義です。
例えば、5個のタグに、0,1の1のフラグが立ち、全てフラグが立った時にTRUEを返したいとき、
・3個フラグが立っていれば、1^3×0^2=0でFALSE
・5個フラグが立っていれば、1^5×0^0=1でTRUE
という代入計算をするので、0^0は1であって欲しいです。
ちなみにRでは、
> 0^1
[1] 0
> 1^0
[1] 1
> 0^0
[1] 1
というように、拒否されずに結果が返ってきます。
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