電磁気学でわからないところがあります。 磁束密度が時間と共にゆっくりと変化する(ほぼ一様)。その中を

電磁気学でわからないところがあります。

磁束密度が時間と共にゆっくりと変化する(ほぼ一様)。その中を質量m,電荷q>0で近似的に円運動をしている。(x-y平面とBが垂直)

(1)
ファラデーの法則を用いて粒子にはたらく電場の大きさEをdB/dtを用いて表せ。

(2)
v^2/Bが一定になることを示せ。
(ただし.v:接線方向の速さ、dr/dt,d^2r/dt^2=0)

これから
t微分の記号を○'とします。
t偏微分の記号を○*とします、

私の考え

(1)
ファラデーの法則より∇×E=-B*
面積分すると
∫(∇×E)・dS=∫-B*・dS
ストークスの定理から
∮E・dl=∫-B*・dS
2πrE=-πr^2B'→E=-B'r/2

(2)
(ただし....)の部分から２次元極座標での運動方程式からを使うと思い

m(r''-rφ'^2)=F( r方向)
m(rφ''+2r'φ')=f(θ方向)

r',r''共に0 (∵ただし....)

-mrφ'^2=F( r方向)─①
mrφ''=f(φ方向)─②

荷電粒子にはローレンツ力が働くので
F=qvB→2次元極座標ではvのθ方向はrφ'であり、力は円の中心方向であるから
F=-qrφ'Bこれを①へ代入すると


mrφ'^2=qrφ'B→mφ'=qB─③

(1)よりqE=-B'rq/2を②へ代入すると

mrφ''=-B'rq/2→mφ''=-B'q/2

③'=mφ''=qB' =B'q/2→???




(1)答えや途中式がないので答えが合っているか確認できません。あっていますか?

(2)②をどうしたらいいか分かりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/24 17:44

①②まではあっているので残り解説します：

以下(er)(eφ)(k)はr方向、φ方向、ｚ方向の単位ベクトルとすると
ローレンツ力↑Fについて、速度ベクトルが↑v＝rφ’(eφ)なので
↑F＝q↑v×↑B＝qrφ’(eφ)×B(k)＝qBrφ’(er)
これからｒ方向の方程式は
－mrφ’²＝qBrφ’・・・③
あなたの③とは符号がちがうから注意
（この問題でBがz軸の正方向を向いているならq＞0だから電荷は
z軸の正側から見て時計回りに運動する、つまりφ’＜0になります。)
一方（1）から↑E=(－1/2)rB’(eφ)という電場が発生しているので
これが電荷に及ぼす力は↑f＝(－1/2)qrB’(eφ)
したがってφ方向の方程式は
mrφ''=(－1/2)qrB’・・・④
さてｒ’＝0なので(d/dt)(rφ’)＝rφ’’になるしｖ＝rφ’だから
③は　－mｖ＝ｑBｒ・・・⑤
④は　　ｍｖ’＝(－1/2)qrB’・・⑥　と変形できる。
そこで
v^2/Bが一定になるのを示すにはその時間微分
（2ｖｖ’B－ｖ²B’)/B²＝0を出せばよいが
それは⑤⑥からのｖ、ｖ’を上式に入れれば出ます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

詳しくて分かりやすかったです。
困っていたので助かりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/03/01 13:58

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2024/02/24 17:44

θとφをどう使い分けているのか、最後の方は何をどう計算しているのか、辺りは解読できてませんが、

とりあえず、
>F=qvB→2次元極座標ではvのθ方向はrφ'であり、
>力は円の中心方向であるから
>F= -qrφ'B
電荷q(>0)、Bが+z方向とした時、電荷qはxy平面上を時計周りに運動するのか、反時計回りに運動するのか(φ'が正なのか負なのか)は分かりますか？

誘導電場によって電子は加速する(=運動エネルギーが変化する)事になるので、まずは運動エネルギーの変化率を求めてみましょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

θではなくφでしたね。すみません。

運動エネルギーの変化に着目することなんて頭にありませんでした。
助かりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/03/01 13:53