数学での背理法について

Question

男子大学院2年生。

勉強を教えている高校生から、背理法って本当に証明になっているのか、と聞かれました。
その子に、
・君（その生徒）がここにいない、と仮定してみる。
・けれども僕は今、「ここ」で君と話しをしている
・だか仮定は間違っていて、君はここにいる
というようなことだよ、と言ってみると、「先生(僕のこと)は私と話していることを、どう証明するのですか？」と問われました。

騙されているみたい、とその子は言うのですが、どう納得させたらいいでしょうか？
背理法だけなく、対偶での証明も納得できないようです。

finalbento · Accepted Answer

背理法は論理学で言う排中律を前提とした証明です。大学院生との事なので御存知かもしれませんが排中律とは簡単に言えば「◯◯はAであるかAでないかのどちらかである」と言う規則です。そして背理法とは「Aでないと考えると矛盾が生じる」つまり「Aではない」を否定する事によって「Aではない」が正しくないのだから「Aである」が正しいと言う形で証明するわけです。一度この辺りを説明してみたらどうかと思います。

ちなみに上記の説明に物言いを付けたのがブロウウェル(本によってはブラウェルとも)と言う数学者です。彼は「Aではないと考えると矛盾が生じる(Aではないと言う事はない)」は即「Aである」と言う事にはならない、Aの現物を持って来なければ「Aである」と証明したコトにはならない、少なくとも有限回の操作でAの現物にたどり着く事を保証する必要がある、と言った事を主張して、後に「直観主義」と呼ばれる立場を提示しました。この辺りはややこしい数学基礎論の話になるので、その高校生には黙っておいて前述の背理法と排中律の関係だけを説明してみてはどうかと思います。そしてもしもその高校生がブロウウェルのようなツッコミをして来たら、その時はブロウウェルとその他の数学者との論争の歴史を話してみたらいいかもしれません。

kairou · Answer

＞「先生(僕のこと)は私と話していることを、どう証明するのですか？」

・話していない と仮定する。
・けれども 先生の言葉が聞こえて 返事をしている。
・従って 仮定は間違いで 先生と話をしている。

仮定することが 証明する事の関係あることに しないといけません。
「君がここにいない」事と「話をする」事は 別の事でしょ。

ありものがたり · Answer

背理法が成り立つのか？という疑問は数学者にもあって、
背理法無しで証明できることだけを定理とする数学の世界もあります。↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6)
それなりに深く研究されていて、背理法抜きで何が証明できるのか、
背理法抜きでは数学の結論が狭くなること、それとともに
背理法抜きでも結構いろいろ結論できることが、厳密に示されています。

でも、その高校生の「先生は私と話していることを、どう証明するのですか？」は
関係ないというか、その生徒は「仮定する」ということを正しく理解してない
ように思います。哲学者はしばしば数学をしたがるけれど、彼らの自由気ままな
懐疑主義を数学に持ち込ませてはいけない。その生徒には
「大学１年から数学を復習しろ」のひとことで済ませたほうがよいような気がする。

masterkoto · Answer

テストの答案としては駄目ですが
納得してもらうだけということなら
ベン図を使って可視化してみてはいかがですか

kmee · Answer

雑に言えば「Aでないと仮定すると、矛盾があるので、(『Aではない』が否定され)Aである」というのが背理法の流れです。

> 「先生(僕のこと)は私と話していることを、どう証明するのですか？」

この部分は背理法とは直接は関係ありません。
「仮定を否定できた」という結果が重要で、そのための手段は(証明とて正しいものなら)問いません。

「先生は生徒と話している」ことが証明できなくても、他の手段で「生徒がここにいない」ことが否定できればそれでいいのです。

stomachman · Answer

「その子」の問題じゃなくて、単に教える側が力不足なのでしょう。
背理法の説明をするのにゲンジツを使うという迂闊さを、直感的に突いたのでしょう。命題の体系全体が無矛盾だということが背理法の前提になっているけれども、なるほどゲンジツが無矛盾かどうかは保証の限りではない。
「先生(僕のこと)は私と話していることを、どう証明するのですか？」と問う人には哲学のセンスがありそうです。その芽を摘まないよう注意してくださいな。

finalbento · Answer

他の回答でツッコミがあったようですが、背理法の証明の題材として「生徒(教え子の高校生)がここにいる」を出したのは私も不適切だったと思います。

論理の形式は変わりないとしても「生徒がここにいる」と言う事はそもそも数学的証明(≒背理法)の対象ではありません。なので私が質問者様の生徒であったとしても「その説明はおかしいやろ?」と感じたでしょう。

論理の流れは同じだったとしても、背理法等の数学的証明は数学的命題に限定して用いるべきです。早い話「神様が存在する」と言う事を背理法で証明できるのかと言う話ですし。

論理の流れは同じだったとしても、背理法等の数学的証明は数学的命題に限定して用いるべきです。早い話「神様が存在する」と言う事を背理法で証明できるのかと言う話ですし。

finalbento · Answer

ちなみに私も背理法を初めて知った時には「なんかだまされたような」と言ったモヤモヤ感があったものでした。その後勉強して行くにつれて「数学の証明とはこう言う事」と言うのが分かって来て次第にモヤモヤ感もなくなって来ました。なので生徒さんには先の回答に書いた「背理法の証明のしくみ」を説明してあげたらいいと思います。

finalbento · Answer

対偶についてですが、背理法による証明と同じく対偶を用いた証明も証明したい命題である「PならばQである」をダイレクトに証明するものではないので慣れないうちは「ホントにこれで証明した事になるのか?」と言う疑問は確かに出て来るでしょうね。なので「元の命題と対偶の真偽は一致する」と言う事を実例等を挙げて納得させるしかないと思います。

ところで対偶による証明は対偶の作り方に気を付ける必要があります。例えば「PならばQである」と言う命題でPとQの間に因果関係が存在したりすると、単純にPとQを入れ換えてそれぞれを否定に変えただけでは対偶にならない事があります。例を挙げると「彼は叱られないと勉強しない」の対偶として「勉強するならば叱られる」は明らかにおかしいでしょう。この場合は「叱られる」「勉強する」の因果関係を考慮して「彼が勉強しているとしたらそれは叱られたからだ」と言った具合にする必要があります。

ヤフーを捨てた男 · Answer

論理的にイエスかノーかがはっきりしている事柄しか扱わないという観点をまず言わないといけません。イエスとするとおかしいからノーと「ならざるを得ない」というのが背理法です。
ネタとしてかのフェルマーの最終定理も背理法からなることを話しても良いと思います

数学での背理法について

＞「先生(僕のこと)は私と話していることを、どう証明するのですか？」

背理法が成り立つのか？という疑問は数学者にもあって、

テストの答案としては駄目ですが

背理法は論理学で言う排中律を前提とした証明です。

雑に言えば「Aでないと仮定すると、矛盾があるので、(『Aではない』が否定され)Aである」というのが背理法の流れです。

「その子」の問題じゃなくて、単に教える側が力不足なのでしょう。

他の回答でツッコミがあったようですが、背理法の証明の題材として「生徒(教え子の高校生)がここにいる」を出したのは私も不適切だったと思います。

ちなみに私も背理法を初めて知った時には「なんかだまされたような」と言ったモヤモヤ感があったものでした。

論理的にイエスかノーかがはっきりしている事柄しか扱わないという観点をまず言わないといけません。

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