v^2-v0^2=2ax 今日この式を習ったのですが、先生は、微積を使えれば覚えなくてもいいと言って

v^2-v0^2=2ax
今日この式を習ったのですが、先生は、微積を使えれば覚えなくてもいいと言っていたのですがどういうことでしょうか。
微積によってこの式を簡単に導出できるということですかね？
教科書には
v = v0 + at
x = v0 t + 1/2・at^2
の2つの式から導出する方法があったのですが、もっと楽な方法や高校生レベルの微積で導出できる方法があれば教えて欲しいです。

No.10 ベストアンサー 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/17 00:45

質問文にもあった

v=v0+at…①

x=v0t+(1/2)at^2…②

からtを消去して作られた式が

v^2-v0^2=2ax

と言う式ですが、①と②は運動方程式

F=ma

を一定の初期条件の元で積分すれば得られる式です。先生の話はその辺りの事を言われたのだと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/20 11:44

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/18 20:45

>微積によってこの式を簡単に導出できるということですかね？

いえ、微積できるなら使わないということです。
微積出来れば
v = v0 + at
x = v0 t + (1/2)at^2
は自明だし、この2つが導けるなら
それで十分問題は解けます。

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/16 23:01

No.2の解答について

ｖは時刻ｔの関数なので合成関数の微分公式より
(d/dt)[(1/2)v²]＝(d/dv)[(1/2)v²]×dv/dt＝ｖｖ’です・
またaは定数だから
(d/dt)(ax)＝adx/dt＝aｘ’　です。

この回答へのお礼

理解出来ました。ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/20 11:42

No.8 回答者： 人は皆親戚 回答日時： 2024/04/16 20:56

このような図で説明したものを探すと1/2が三角形の面積とかで積分を使わないほうが理解出来ると思います。

https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/henni/to …
頑張ってWeb検索してみて下さい。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/16 20:18

御期待の微積分とは関係ないのだけれど...

質問の式 v^2-v0^2=2ax
x が当加速度運動のとき「だけ」しか成り立たない式だから、
v = v0 + at
x = v0 t + 1/2・at^2 にべったり依存した式変形もあり得るかと思う。
数I の範囲で、
v^2 - v0^2 = (v0 + at)^2 - v0^2
　　　　　= 2V0・at + (at)^2
　　　　　= 2a{ V0・T + (1/2)at^2 } = 2ax.
これ以上の話でも、これ以下の話でもなかろう。

x が当加速度運動であることの件は、No.3 では
a が(t に関しての)定数であること...
∫[0,x] a dx = a∫[0,x] dx = ax
と変形できたことで表現されている。

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/16 20:18

あ、微積にこだわらず、簡単な導出と言う事ですか…

ならば

(1/2)mＶ²-(1/2)mＶ₀²＝Fx…仕事と運動エネルギーの関係

F＝maでおきかえると

右辺＝ma・x

両辺を2/m倍すれば導出完了

この回答へのお礼

シンプルでいいですね。ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/20 11:42

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/16 18:58

あ、なんかもう No.1 に書いてあった。

No.3 は、ダブリなんで取り下げ。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/16 18:57

訂正

No.2の6行目C＝(1/2)v²は、C=(1/2)v₀²　のあやまり。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/16 18:56

物理離れて、単純な多項式の積分として、

∫[v0,v] v dv = [ (1/2)v^2 ]_{v0,v} = (1/2)v^2 - (1/2)v0^2.

一方、同じ積分を v から t へ置換積分すると、
∫[v0,v] v dv = ∫[0,ｔ] v (dv/dt) dt.
dx/dt = v,
dv/dt = a (定数) という仮定であれば、
∫[0,ｔ] v (dv/dt) dt = ∫[0,ｔ] (dx/dt) a dt = a∫[0,x] dx = ax.

ふたつの計算を合わせると、(1/2)v^2 - (1/2)v0^2 = ax.
すなわち、v^2 - v0^2 = 2ax.

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/16 18:51

位置ｘの時間微分ｘ’が速度ｖ、ｖの時間微分ｖ’が加速度aになる。

加速度aが時間的に一定のとき
ｖ’＝aの両辺にｖ＝ｘ’をかけて
ｖｖ’＝aｘ’、（d/dt)[(1/2)v²]＝(d/dt)(ax)
両辺時間で積分して
(1/2)v²＝ax＋C、初速ｖ₀、初期位値ｘ＝0とすればC＝(1/2)v²
なので
(1/2)v²＝ax＋(1/2)v₀²
これを変形すれば出ます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
（d/dt)[(1/2)v²]＝(d/dt)(ax)という式がどこからでてきたのかわからないです。教えていただけると助かります。

お礼日時：2024/04/16 19:54