2次方程式x²+px+q=0の2つの異なる実数解をα, βとするとき、2数α+1, β+1が2次方程

2次方程式x²+px+q=0の2つの異なる実数解をα, βとするとき、2数α+1, β+1が2次方程式x²−3p²x−2px=0の解になっているという。このとき、実数の定数p, qの値を求めよ。

これの解答で
「実数解に関する条件からp²−4q>0」とあるんですが2つ目の2次方程式の「9p⁴+8pq>0」は必要ないんですか？

最終的に2組の解(p, q)=(2/3, −1/7), (−1, 2)のうち残る組が(2/3, −1/7)で一致するからいらないんですか？

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/03 21:52

#3さんへ

なるほど、でした。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/06/03 21:16

＞2つ目の2次方程式の「9p⁴+8pq>0」は必要ないんですか？

普通の考えたら、１つ目の α, β が 実数ならば、
それに +1 した ２つ目は 当然 実数 になりますよね。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/03 19:34

x²−3p²x−2px=0 → x²−3p²x−2p=0

の「ような」間違いのようです。解も違うので。そこで第2式
を上のように仮定します。

勿論、始めの方程式の議論をしているなら、後者も必要です。

ただ、どのような議論なのか不明ですが、そのような議論は
不要です。

まず、
始めの式 → α+β=-p, αβ=q
次の式 → 　(α+1)+(β+1)=3p², (α+1)(β+1)=-p
これを解くと
　(p,q)=(-1,0), (2/3, -5/3)
となります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/03 18:27

x²+px+q = (x-α)(x-β) と置いただけでは

p,q の値によっては α,β は虚数かもしれませんが、
そこを p²-4q>0 でクリアしてしまえば、α,β は実数なんだから
x²-3p²x-2px = (x-(α+1))(x-(β+1)) と置いた
x²-3p²x-2px = 0 の解は、実数 α+1,β+1 に決まっているわけです。
x²-3p²x-2px の判別式を考える必要はありませんね。