
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3 さんの ② のトンネルで、最深部(最も星の中心に近いところ)の中心との距離(半径)が R/2 ということかと思います。
その場合には
(R - d)^2 = x^2 + (R/2)^2
なので
F = GMm{√[x^2 + (R/2)^2]}/R^3
星の質量を
M = ρ(4/3)πR^3
で表わせば
F = Gρ(4/3)πR^3・m{√[x^2 + (R/2)^2]}/R^3
= (4/3)πGρm{√[x^2 + (R/2)^2]}
その「x 成分」は、F * {-x/√[x^2 + (R/2)^2]} なので
Fx = -(4/3)πGρmx ①
これを、与えられた万有引力の式から求めてみましょう。
万有引力は星の中心を向きますから、星の中心を原点とした極座標で考えれば(トンネルと星の中心を含む「2次元」で考えればよい)、θ方向の成分はゼロなので
div(→F) = (1/r^2)d(r^2・Fr)/dr
これが
div(→F) = -4πGρm
で与えられていることから
(1/r^2)d(r^2・Fr)/dr = -4πGρm
→ d(r^2・Fr)/dr = -4πGρmr^2
→ r^2・Fr = -(4/3)πGρmr^3 + C
r = R/2 のとき
Fr = -(1/8)GMm/(R/2)^2
より
C = 0
従って
Fr = -(4/3)πGρmr
よって、2次元極座標で
→F = (-(4/3)πGρmr, 0)
これをトンネルの最深点を原点とし、トンネルが x 軸上になるように直交座標をとれば、
→F = (Fx, Fy)
とすれば Fx = |→F|cosθ = (-x/r)|→F| なので
Fx = -(4/3)πGρmx ②
で同じ結果が得られます。
トンネル内では「x方向」の1次元にしか運動ができないので、①あるいは②の力が働く運動は「x 軸上の単振動」になります。
No.3
- 回答日時:
重カにもガウスの法則が使えるので、
質点にかかる重カを求めるのはかんたんです。。
地表からの深度をdとすると
M=(4/3)πR^3・ρとして
F=G{(R-d)/R}^3・Mm/(R-d)^2
=G{(R-d)/R^3}Mm
質問からトンネルの向きが不明なので、これ以上は答えられません。
①表面から真っ直ぐ中心にのびるトンネル?
②表面の2点を真っ直ぐ結ぶトンネル?
①ならR-d=R/2+x と置けば求まります。
No.2
- 回答日時:
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/93834.html の回答3とそれに対するコメントのところに、類題に関する結果がチャチャッと書いてあります。ずいぶん昔だなあ。
No.1
- 回答日時:
球形の星の内部でトンネルに沿って質点が運動する場合、質点には3つの力が働きます。
重力(球形星の中心からの距離に比例する)、遠心力(質点の運動による力)、そしてトンネル壁からの力です。これらの力のx成分を求めるには、質点の位置に応じて各力のx成分を計算し、合計すればよいです。重力のx成分:質点と星の中心との間の距離をrとすると、重力のx成分は -G * M * m * x / r^3 です。ここで、Gは万有引力定数、Mは星の質量です。
遠心力のx成分:遠心力は質点の運動によって生じる力で、x軸に垂直なのでx成分は存在しません。
トンネル壁からの力のx成分:トンネル内部での力は球形星の密度によって決まります。トンネル内の部分質量dmが質点に働く力は -G * dm * m * x / r^3 です。
したがって、質点に働く力のx成分F(x)は以下のように表されます: F(x) = -G * M * m * x / r^3 - G * dm * m * x / r^3
ここでdmはトンネル内の部分質量であり、dm = ρ * dV です。dVはトンネル内の微小体積です。
最終的に、質点に働く力のx成分を求めるためには、質点の位置x、星の半径R、星の質量M、星の密度ρなどのパラメータに関する具体的な値が必要です。
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