数学の問題に関して質問です。私の解答に問題がないか教えてください。

aを2以上の実数とし、f(x) = (x + a)(x+2)とする。この時f(f(x)) > 0が全ての実数xに対して成り立つようなaの範囲を求めよ

という問題です。
f(f(x))を愚直に計算し、f(f(x)) = g(x)とし、
g(x) = {x^2 + (a+2)x + 3a}{x^2 + (a+2)x + 2a+2}とおきました。
{x^2 + (a+2)x + 3a}、{x^2 + (a+2)x + 2a+2}が実数解を持たなければ良いので、それぞれの判別式をD1,D2投棄計算すると、
4 - 2√3 < a < 4 + 2√3 ,2-2√2 < a < 2+√2が導けました。これとaが2以上であるという条件から、
2<= a <2 + 2√2と出しました。
上記解法に問題がないか教えてください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/19 07:47

いいんじゃない。

「実数解を持たなければ良いので」の部分が重要な推論なので、
十分性だけ言ってるっぽい「良いので」という言い方がちょっとひっかかるけど。
内容としては必要十分で、問題ないと思う。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/19 09:01

方針は合っていると思う。

>実数解を持たなければ良い
は、問題が a が求まる理由も求めているなら
もう少し説明が必要だと思う。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/19 09:09

「

{x^2 + (a+2)x + 3a}、{x^2 + (a+2)x + 2a+2}が実数解を持たなければ良い
」
ではなく

{x^2 + (a+2)x + 3a=0}、{x^2 + (a+2)x + 2a+2=0}が実数解を持たなければ良い

です

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/07/19 14:03

「実数解を持たなければ良い」で挙げる式は、

方程式でないと、採点者によっては 減点又は不正解 になるかも。