写真のxをx^αに置き換えれる理由を証明して下さい。また、この置き換えをするときlimの下のxはなぜ

写真のxをx^αに置き換えれる理由を証明して下さい。また、この置き換えをするときlimの下のxはなぜなにも変えなくて良いのでしょうか。

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2024/08/17 07:03

ちょっとツッコミ的な話になりますが追記を少し。

お礼コメントにあった「f(x)とはどのような条件の式」なんていちいち考える必要はありません。問題文から見てここに入る関数はxとx^α以外ないわけですから「f(x)=x^(1/2)を代入すると」と言っている時点でピント外れです。この問題でそんな関数の可能性を考える必要はないわけですから。

さらに言うと、「xをx^αに置き換えられる理由を証明して下さい」と言う質問からして既にピント外れです。高校数学の範囲で言えば(置き換えて発散するような事がなければ)「何をどう置き換えようが自由なのは自明」と言った話でしょうし、数学科レベルの話だと例えば「集合Aと集合Bからそれぞれ一つずつ要素を取って来る事ができる」と言う事を証明する、みたいな話になって普通の数学ではなくなります。一言で言うと「気にする所がズレてる」と言う印象を受けました。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2024/08/17 02:06

f(x)についてですが、前述のようにどんな式でも構いません。

あえて言えば「御指摘のような事が起こらない式一般」と言う事になるでしょう。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2024/08/16 15:12

もう一つの質問の「limの下のxはなぜ変えなくて良いのか」ですが、恐らく「xをx^αに置き換える」と言う操作の意味が分からず、単に「xと書いてある所をx^αに書き換える」としか考えていないからではないかと思います。

そこで改めて「xをx^αに置き換える」と言うのはどう言う事か(結局何をしているのか)を説明させていただきます。

とは言っても実は最初の回答で書いた事とほぼ一緒なのですが、質問文の式を(ある意味)一般化した形である

logf(x)/f(x)…①

と言う式を考えてみます。するとこの式に

f(x)=x

を当てはめたものが質問文にある

logx/x

と言う式である事は分かると思います。

そして「xをx^αに置き換える」と言うのは先ほどは①式の中のf(x)に

f(x)=x

を当てはめた代わりに

f(x)=x^α

を当てはめると言う意味です。式の中にあるxを全部x^αに書き換えると言う意味ではありません。このように数学では操作の意味(何をやっているのか)をきちんと理解する事が大切だと思います。

この回答へのお礼

そのf(x)というのはどういう条件の式なのでしょうか。例えばf(x)=x^1/2を代入すると分母は0、分子は♾となり発散してしまい=0にはならないと思いますが。

お礼日時：2024/08/16 22:35

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/08/16 13:16

先の回答で分かっていただけたらいいのですが念のため「置き換える」の意味について追記。

例えば、ビーフカレーの牛肉を鶏肉に置き換えたらチキンカレーになりますよね。逆に親子丼の鶏肉を牛肉(豚肉等でもいいようですが)に置き換えたら他人丼になりますよね。そしてどちらの場合も牛肉を鶏肉に変化させたり鶏肉を牛肉に変化させたりしているわけではありませんよね。「xをx^αに置き換える」と言うのも概ねこう言った意味です。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/08/16 13:00

勘違いされているようですが、xをx^αに置き換えると言うのは「xと言う式をx^αと言う式に変形する」と言う意味ではありません。

xのある場所にx^αと書いちゃいましょうと言った意味です。

質問文の式の

logx/x

と言う式を少し一般的な場合に直すと

logf(x)/f(x)

となります。

(y=xと言う関数はy=f(x)と言う関数の特別な場合なのでこうなる事は分かるでしょう)

そして元々の式にあった

f(x)=x

の代わりに

f(x)=x^α

を当てはめたと言うだけの話です。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/08/16 10:57

logxª=alogx、xª=x･xª⁻¹

lim(logxª/xª)=lim{(logx/x)・(a/xª⁻¹)}

lim(a/xª⁻¹)は0に収束するので、

lim{(logx/x)・(a/xª⁻¹)}=lim(logx/x)・lim(a/xª⁻¹)=0・0=0

∴lim(logxª/xª)=0

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/16 00:30

極限の変数変換ですね。

y = x^α (ただし α > 0) と置いてみましょう。
lim[x→+∞] y = +∞ ですから、
lim[x→+∞] log(x^α)/x^α = lim[y→+∞] log(y)/y になります。

この場合、x→+∞ の +∞ と y→+∞ の +∞ が共通なので
話がゴチャゴチャしますが、一般に、
lim[x→a] f(x) = b のとき、 g(y) が y = b で連続ならば
lim[x→a] g(f(x)) = lim[y→b] g(y) です。