基本的な質問かもしれないのですが、この1/2がどこから出てきたのか分かりません。何かしらの公式がある

基本的な質問かもしれないのですが、この1/2がどこから出てきたのか分かりません。何かしらの公式があるのでしょうか？

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/10/28 10:50

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13947148.html
のNo3見て理解しましたか？　同じく置換積分で
2x=t とおけば　x;0→Π/2　t;0→Π
2 dx/dt =1 ∴dx/dt= 1/2
左辺=⌠０→Π/2　sin2x dx=⌠ ０→Π　sin t dx/dt * dt=⌠０→Π　(1/2)(- cos t) dt=[(1/2)(- cos t)]　0→ Π=[(- 1/2) cos t]　0→ Π
=( - 1/2)(cos Π　-　cos 0 )=( - 1/2)(-1 -1)=1
と同じ結果になります

今回は直接の場合で
d(cos x)/dx= - sin x
d(cos 2x)/dx= - sin 2x *(2x)'= - 2 sin 2x
∴　cos 2x =⌠(-2) sin 2x dx
∴　⌠sin 2x dx= 1/(-2) * cos 2x=( - 1/2) cos 2x
と　合成関数で考えてもらったらいい　内容は置換積分と同じ！
左辺=⌠０→Π/2　sin2x dx=[( - 1/2)cos 2x]０→Π/2

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/27 08:50

積分は、微分の逆操作だったよね。

置換積分は、合成関数の微分の裏返し、
部分積分は、積の微分の裏返し。

f(g(t)) ’ = f’(g(t))・g’(t) を積分形で書けば、
f(g(t)) = ∫ f’(g(t))・g’(t) dt. これが置換積分の公式。
g(t) = x, f’(x) = h(x) と置いて
∫ h(x) dx = ∫ h(g(t))・(dx/dt) dt と書いたほうが、見やすいかな？

写真の計算では、 h(x) = sin(2x), g(t) = (1/2)t としているから
∫ sin(t)・(1/2) dt となって式に 1/2 が入る。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/27 00:51

2x = u とおけば

x = (1/2)u ですから
　dx/du = 1/2

あとは「合成関数の積分」で（積分定数は省略）

∫sin(2x)dx = ∫sin(u)(dx/du)du = (1/2)∫sin(u)du = -(1/2)cos(u)
　　　　　 = -(1/2)cos(2x)

No.1 回答者： heidfeld 回答日時： 2024/10/26 23:18

cos2xをxで微分すると、

xの係数2が前に出てきて
-2sin2xになるからだと思います。