定積分 ∫[-1√2→1/√2] {x^2/√(1-x^2)}dx の解き方を教えてください。

定積分 ∫[-1√2→1/√2] {x^2/√(1-x^2)}dx の解き方を教えてください。

また、三角関数で置換する場合のθの範囲ってどのように考えればいいのですか？
0<θ<2πだと範囲が2つでてきたりしますよね？範囲はどのように考えればいいのでしょうか？

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/12/16 13:45

https://univ-juken.com/gukansu-kikansu
f(x)=x^2/√(1-x^2) とし
f(-x)=x^2/√(1-x^2) と同じなので偶関数なので
∫[-1√2→1/√2] {x^2/√(1-x^2)}dx=2∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx
以下　sinΘで置換積分で

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/15 21:16

∫[-1√2→1/√2] {x^2/√(1-x^2)}dx

ではなく
∫[-1/√2→1/√2] {x^2/√(1-x^2)}dx
とする

∫[-1/√2→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx
=∫[-1/√2→0]{x^2/√(1-x^2)}dx +∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx
=∫[1/√2→0]{t^2/√(1-t^2)}(-dt) +∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx
=∫[0→1/√2]{t^2/√(1-t^2)}dt +∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx
=∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx +∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx
=2∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx

x=sinθ
0≦θ≦π/4
dx=cosθdθ
x^2=(sinθ)^2
√(1-x^2)=cosθ

2∫[0→1/√2]{x^2/√(1-x^2)}dx
=∫[0→π/4]{2(sinθ)^2}dθ
=∫[0→π/4]{1-cos(2θ)}dθ
=[θ-(1/2)sin(2θ)][0→π/4]
=(π/4)-(1/2)

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/15 20:59

x=sinθと変換、すると

θ=-π/4～+π/4・・・・①
dx=cosθdθ
√(1-x²)=|cosθ|=cosθ　(①の範囲で)
したがって、
積分=∫[-π/4→π/4] (sin²θ/cosθ)cosθdθ=∫[-π/4→π/4] sin²θdθ
=2∫[0→π/4] (1-cos2θ)/2 dθ・・・・遇関数、半角の公式
=[θ-(sin2θ)/2] [π/4,0]
　=π/4-1/2

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/15 20:53

S = ∫[-1√2→1/√2]{ x^2/√(1-x^2) }dx.

まず、とりあえず、被積分関数が偶関数なので
S = 2∫[0→1/√2]{ x^2/√(1-x^2) }dx.
これだけでも、変数変換の範囲のとり方がやや楽になる。
x = sinθ で置換すると、
S = 2∫[0→π/4]{ (sinθ)^2/√(1-(sinθ)^2) }(cosθ dθ)
　= 2∫[0→π/4]{ (sinθ)^2 } dθ
　= ∫[0→π/4]{ 2(sinθ)^2 } dθ
　= ∫[0→π/4]{ 1 - cos(2θ) } dθ
　= [ θ - (1/2)sin(2θ) ]_{0→π/4}
　= (π/4 - (1/2)sin(π/2) ) - (0 - (1/2)sin(0) )
　= π/4 - 1/2.