連続群論入門（山内、杉浦）III章定理[VI] 3)→4)の証明

連続群論入門（山内、杉浦）のIII章１節の定理[VI] 3)→4)の証明で以下の記述がありますが、よくわかりません。誰か分かる方、教えてください。

「上に証明した2)と3)の同値性から、Xが3)を満たせば任意の実数tに対して、X'=tXも3)を満たす（それはこのことは２)について明らかだからである）。」

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/02 16:23

誤字訂正：

直接 3) でよく、 2) を経由するまでもない。

No.2 に書いたように、3) は 2) を εp = 1/p で特殊化したもの。
tX が 3) を満たすことを示すには、決め打ちの 1/p よりも
自由度のある εp のほうが扱い易い。

　X が 3) を満たす
　⇒ X は 2) も満たす
　⇒ tX も 2) を満たす
　⇒ tX は 3) も満たす
って順で話が進むことになるが、
No.2 に書いたのは
　X は 2) も満たす ⇒ tX も 2) を満たす
の部分。

あと２箇所の ⇒ は、質問文中の
「上に証明した2)と3)の同値性から」によると
2) ⇔ 3) の証明が既に書いてあるらしいから、
それが使える。

この回答へのお礼

皆様ありがとうございました。当初の質問につき、納得しましたのでクローズとします。

お礼日時：2025/01/03 22:12

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/02 15:53

←No.3 補足

すまん、そのとおりだ。
t = 0 のときは Ap = E, εp = 1/p で十分だった。
直接 2) でよく、 3) を経由するまでもない。
t ≠ 0 のときは、そうもいかないから No.2 ね。

もともとの質問については、No.2 の冒頭部分でよいと思われ。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/01 20:41

t=0のとき

Ap=E
εp=1/p
tX=0=lim(p→∞) (log Ap)/(1/p)
でよいと思います

Ap=(1/p^2)E

とすると

lim(p→∞) log Ap
=lim(p→∞) log{(1/p^2)E}=-∞　に発散するから

Ap=(1/p^2)E　は間違いです

log(E+A)=Σ[n=1～∞]{(-1)^{n+1}/n!}A^n

だから
log は線形写像ではないのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/01 16:51

log は

リー群からリー代数(環)?への写像だから

X=lim(p→∞)logAp/εp
と
X＝lim(n→∞)nlogBn
の

Xはリー群の要素ではなく
リー代数(環)?の要素?
リー環は0を含む

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/31 21:37

＞ Ap=1/p^2E∈Gとは限らないのでは？

リー群は群ですから、当然、単位元を持ちます。
No.1 補足では Ap のことを「行列」と呼んでいます。
Ｇ が実リー群であれば、G は 0 でない実数倍について閉じています。
よって、(1/p^2)E ∈ G です。

＞ 0/(０に収束する極限)=0としてはいけないのでしたっけ。

リー群は、零行列を元に持ちません。
0 の逆元は存在しないからです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。以下疑問点がありますので、ご教示いただければありがたいです。

>>Ｇ が実リー群であれば、G は 0 でない実数倍について閉じています。
>>よって、(1/p^2)E ∈ G です。
よくわかりません。同書のIII章1節の定義によると、線形リー群とは、GL(N,C)の部分群であって、GL(N,C)の中で閉じているものとあります。そのため、Gがリー群の元であっても、その実数倍は、必ずしもリー群の元といは言えないのでは？例えば、SO(n)は線形リー群ですが、その実数倍の元はSO(n)の元ではないはず。

>>リー群は、零行列を元に持ちません。
>>0 の逆元は存在しないからです。
　Ap=E(単位元）と取るのであって、ゼロ行列にとるのではないです。LogApLogE=0と言っているだけです。

お礼日時：2024/12/31 22:33

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/31 09:47

←No.1 補足

質問の 「　」 は...
2) ⇔ 3) は既に証明した。
X が 2) を満たせば tX も 2) を満たすことは自明だから、
X が 3) を満たせば tX も 3) を満たす。
...と言ってるわけです。

X, X’ の使い方がわかりにくいのかな？
X=Y が 2) を満たせば X=tY も 2) を満たすことは自明だから、
X=Y が 3) を満たせば X=tY も 3) を満たす。
...なら、意味がわかりますか？

”自明”の部分については、
X = lim(p→∞) (log Ap)/εp を満たす Ap, εp が在るなら
t ≠ 0 のとき
　tX = lim(p→∞) (log Ap)/((εp)/t) なので
　A’p = Ap, ε’p = (εp)/t とすればよいだけだし、
t = 0 のときは
　例えば、単位行列を E として
　Ap = (1/p^2)E, εp = 1/p なんかでも十分ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。ところで、t=0の場合ですが、E∈Gですが、Ap=1/p^2E∈Gとは限らないのでは？。素直に　Ap=Eとすればいけないですか。(０に収束する極限)/(0に収束する極限)は不定ですが、0/(０に収束する極限)=0としてはいけないのでしたっけ。

お礼日時：2024/12/31 17:50

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/29 22:53

連続群論入門（山内、杉浦） を持ってる人が

ここの回答者にいるかな...

なぜ、 2) 3) を質問文中に書かないの？
そういうとこだよ。

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。

2)と3)の命題を書いておきます。

2)リー群Gに含まれる行列Ap(p=1,2,..）と０に収束する正数εp(p=1,2,..)が存在して
　　X=lim(p→∞)logAp/εp
といなる。

3)Gに属する行列Bn(n=1,2,..）であって、
　　X＝lim(n→∞)nlogBn
となるものが存在する。

お礼日時：2024/12/30 15:21